Calcul intégral (3)
Exercice 1 tp
Soit f une fonction numérique définie par
| f(x) = | 3x² + 1 + | 2 |
| x² - 1 |
1) Déterminer a et b tel que ∀ x∈[2;3].
| 2 | = | a | + | b |
| x² - 1 | x - 1 | x + 1 |
| 2) Calculer I = | 3 ∫ 2 |
2 | dx |
| x² - 1 |
3) Déduire l'integrale
| 3 ∫ 2 |
f(x) | dx |
Correction
1) (∀x∈[2 ; 3] ) on a x²-1≠0
| a | + | b | = | a(x+1) + b(x-1) |
| x - 1 | x + 1 | (x - 1)(x+1) |
| = | (a+b)x + a-b |
| x² - 1 |
Donc (a+b)x + a-b = 2
⇔ (a+b)x + a-b = 0.x + 2
| ⇔ { | a + b = | 0 | ⇔ { | b = -a |
| a - b = | 2 | a - b = 2 |
Donc 2a = 2 ⇔ a=1 et donc b=-1 Ainsi
| 2 | = | 1 | - | 1 |
| x² - 1 | x - 1 | x + 1 |
| 2) I = | 3 ∫ 2 |
1 | dx | - | 3 ∫ 2 |
1 | dx |
| x - 1 | x + 1 |
| = | [ln(|x - 1|)] | 3 2 | - | [ln|x + 1|] | 3 2 |
= ln(2) - ln(1) -(ln(4) - ln(3))
Ainsi I = - ln(2) + ln(3)
| 3) | 3 ∫ 2 |
f(x)dx | = | 3 ∫ 2 |
(3x² + 1)dx | + I |
| = | [x³ + x] | 3 2 |
+ I = 30-10 -ln2 + ln3 |
| Alors | 3 ∫ 2 |
f(x)dx = 20 - ln(1) + ln(3) |
Exercice 2 tp
| Calculer I = | 9 ∫ 1 |
(x +1). √(x) dx |
Correction
La fonction f: x→(x +1).√(x) est continue
sur [1 ; 9] donc admet des fonctions primitives
| I = | 9 ∫ 1 |
x . √(x) + √(x) dx |
| = | 9 ∫ 1 |
x . x1/2 + x1/2 dx |
| = | 9 ∫ 1 |
x3/2 + x1/2 dx |
| = | [x5/2 + x3/2] | 9 1 |
= 95/2 + 93/2 - (15/2 + 13/2)= 35 + 33 - 2
Ainsi I = 243 + 27 - 2 = 218
Exercice 3 tp
Montrer
| 3 ∫ 2 |
x . ∛(x-1) dx = | 45 | ∛(2) - | 33 |
| 14 | 28 |
Correction
La fonction f: x→x∛(x-1) est continue sur l'intervalle [2 ; 3] donc admet des fonctions primitives
x∛(x-1) = (x-1)∛(x-1) + ∛(x-1)
donc
| K = | 3 ∫ 2 |
(x-1)∛(x-1) + ∛(x-1) | dx |
| = | 3 ∫ 2 |
(x-1)4/3+ (x-1)1/3 | dx |
| = [ | (x-1)7/3 | ] | 3 2 |
+ [ | (x-1)4/3 | ] | 3 2 |
| 7/3 | 4/3 |
| = | 3 | 27/3 | - | 3 | + | 3 | 24/3 | - | 3 |
| 7 | 7 | 4 | 4 |
| = | 12 | ∛(2) | + | 3 | ∛(2) | - | 33 |
| 7 | 2 | 28 |
| Ainsi K = | 45 | ∛(2) - | 33 |
| 14 | 28 |