Calcul intégral (8)
Rappel
Le plan est rapporté à un repère (O ; i→ ; j→).
Soient f et g deux fonctions définies et continues sur I=[a;b] et (Cf) et (Cg) leurs courbes représentatives respectives
1) L'aire S1 délimitée par la courbe (C) ; l'axe des abscisse et les droites (D): x=a et (D'): x=b est définie par
| S1 = | b ∫ a | | f(x) | dx .UA |
2) L'aire S2 délimitée par les courbes (Cf) ; (Cg) et les droites (D): x=a et (D'): x=b est définie par
| S2 = | b ∫ a | |f(x)-g(x)|dx.UA |
Exercice 1 tp
Soit f une fonction numérique définie par
f(x) = ln(x)
et (Cf) sa courbe représentative
dans un repère (O ; i→ ; j→)
1) Vérifier que la fonction g définie par
g(x) = -x + xlnx est une fonction primitive de f sur IR+*
2) Calculer l'aire délimité par (Cf) ; l'axe des abscisses et les droite (D): x=1 et (D'): x=2
Correction
1) g est dérivable sur IR+* . Soit x∈IR+*
g'(x) = -1 + lnx + 1 = ln(x) = f(x)
Ainsi g est une fonction primitive de f
| 2) S = | 2 ∫ 1 | | f(x) | dx .UA |
| = | 2 ∫ 1 |
|ln(x)|dx= | 2 ∫ 1 |
ln(x)dx |
| Donc S = | [-x + xlnx] | 2 1 |
= -1+2ln2 .UA |
Exercice 2 tp
Soient f et g deux fonctions définies par
| f(x) = | 1 | x² | g(x) = | - 1 | (x-2)²+2 | |
| 2 | 2 |
Et (Cf) et (Cg) leurs courbes dans un repère
orthonormé (O ; i→ ; j→)
Calculer l'aire délimité par (Cf) et (Cg) et les droite (D): x=0 et (D'): x=3
Correction
f et g sont continues sur I=[0 ; 3] donc la fonction f-g et g-f admettent des fonctions primitives
| 3 ∫ 0 |
|f(x)-g(x)| = | 3 ∫ 0 |
1 | |2x(x-2)| dx |
| 2 |
| = | 2 ∫ 0 |
- (x² - 2x) dx + | 3 ∫ 2 | (x² - 2x) dx |
| = - [ | 1 | x³ - x²] | 2 0 |
+ [ | 1 | x³ - x²] | 3 2 |
| 3 | 3 |
| ( | 4 | ) + (0 - | 8 | + 4) = | 8 |
| 3 | 3 | 3 |
Ainsi
| S = | 8 | UA cm² |
| 3 |
||i→||=||j→||=1
