Calcul intégral (9)
Rappel
Soit f une continue sur un intervalle I = [a ; b] et (C) sa courbe dans un repère orthonormé.
Le volume du solide engendré par la rotation complète de la courbe (C) au tour de l'axe des abscisses
et délimité par les deux plan (P): x=a et (Q): x=b est définie par
| V = | b ∫ a | π (f(x))²dx .UV |
Exercice 1 tp
Soit f une fonction numérique définie par
f(x) = √(x)ex²
et (C) sa courbe dans un repère orthonormé
Calculer le volume V du solide engendré par une rotation de la courbe (C) au tour de l'axe des abscisses et délimité par les plans (P):x=0 et (Q):x=1
Correction
f est continue sur l'intervalle I = [0 ; 1] car f est le produit de deux fonctions continues sur I, √ et exp donc
| V = | 1 ∫ 0 | π(f(x))² | dx UV |
| = | 1 ∫ 0 | π(√(x)ex²)² | dx UV |
| = π | 1 ∫ 0 |
x.e2x² | dx UV |
La fonction g: x→2x² est dérivable sur I
et g'(x)=4x donc
| V = π | 1 ∫ 0 |
1 | (2x²)'.e2x² | dx UV |
| 4 |
| = | π | [ e2x²] | 1 0 |
UV |
| 4 |
Ainsi
| V = | π | [ e² - 1) | UV |
| 4 |
Exercice 2 tp
Soit f une fonction numérique définie par
| f(x) = √( | x² + ln(x) | ) |
| x |
et (C) sa courbe dans un repère orthonormé
Calculer le volume V du solide engendré par une rotation de la courbe (C) au tour de l'axe des abscisses et délimité par les plans (P):x=1 et (Q):x=2
Correction
x≠ 0 et la fonction g:x→x² + ln(x) est continue et strictement positives sur I=[1 ; 2] donc f est continue sur l'intervalle I
| V = | 2 ∫ 1 |
π(f(x))² | dx UV | |
| = | 2 ∫ 1 |
π√( | x² + ln(x) | )²dx |
| x | ||||
| = π | 2 ∫ 1 |
x + | ln(x) | dx |
| x |
| = | π | [ x² +( ln(x))²] | 2 1 |
UV |
| 2 |
ainsi
| V = | π | (3 + (ln2)²) | UV |
| 2 |