تمارين

بين ان المعادلة x-cosx=0 تقبل حلا وحيدا I=]π/6 ; π/4[.

طريقة التفرع الثنائي

لتكن f دالة معرفة كما يلي
f(x)=x³-4x²+4x-1.
بين ان المعادلة f(x)=0 تقبل حلا وحيدا a في المجال I=]2;3[
حدد تأطيرا للعدد a سعته 0,25
باستعمال طريقة التفرع الثنائي.

تصحيح

لدينا f دالة حدودية اذن متصلة وقابلة للاشتقاق على IR
f'(x)=3x²-8x+4, ندرس اشارة f'

[2;3]⊂[2;+∞[ اذن f تزايدية قطعا على [2;3] وبما ان f متصلة على IR فان f متصلة على [2;3] وحسب T.V.I ∃!a∈[2;3], f(a)=0 اي المعادلة f(x)=0 تقبل حلا وحيدا في المجال I=[2;3]
لدينا مركز المجال I هو 2,5
اذن a∈[2; 2,5] او a∈[2,5 ;3]
لدينا f(2,5)=-0,375<0 و f(3)>0 وحسب TVI, a∈J=]2,5 ;3[; (سعته 3-2,5=0,5)
نواصل مركز المجال J
هو 2,75 و f(2,75)=0,54.. >0 اذن a∈]2,5 ;2,75[ (سعته 2,75-2,5=0,25)
اذن ]2,5 ;2,75[ تأطير للعدد a سعته 0,25.

10- مبرهنة الدوال العكسية (مبرهنة الدوال التقابلية )

10.1 مثال

لتكن f دالة معرفة على IR+ بما يلي : f(x)=x²
لدينا f قصور دالة حدودية اذن متصلة على IR+
∀ x ; y ∈IR+: x < y ⇒ x² < y²
⇒ f(x) < f(y)
اذن f تزايدية قطعا على IR+
لدينا f(2)=4 اذن 4 صورة 2 بواسطة الدالة f و 2 هو الصورة العكسية للعدد 4 ونرمز له ب f^-1(4)=2
لدينا f(7)= 49 اذن f^-1(49)=7

10.2 مبرهنة وتعريف

اذا f متصلة ورتيبة قطعا على مجال I فانه توجد دالة وحيدة تسمى الدالة العكسية ونرمز لها ب f^-1 ومعرفة على J=f(I) نحو I بما يلي :

10.3 خاصية دالة تزايدية قطعا على مجال

اذا كانت f دالة عددية معرفة على مجال I وتحقق الشرطين التاليين :
c1. f متصلة على I
c2. الدالة f رتيبة قطعا على I.
فان :
. J=f(I) هو كذلك مجالا
. f تقابل من I نحو J اي تقبل دالة عكسية من J نحو I
. الدالة العكسية f^-1 هي كذلك دالة متصلة على المجال I ورتيبة قطعا على I ولها نفس التغيرات .(اي اذا f تزايدية قطعا فان f^-1 هي كذلك تزايدية قطعا I ..)
. Cf و Cf^-1 متماثلان بالنسبة للمنصف الاول للمعلم اي المستقيم الذي معادلته y = x

11- دالة الجذر من الرتبة n لدالة موجبة

11.1 مثال

لتكن f دالة معرفة على IR+ ب : f(x)=x³
f متصلة وتزايدية قطعا على IR+ اذن تقبل دالة عكسية f^-1 معرفة على IR+ ونكتب x -> ∛x وتسمى دالة الجذر المكعب للعدد x

11.2 تعريف

لتكن n∈IN* الدالة العكسية x->xⁿ المعرفة على IR+ تسمى دالة الجذر من الرتبة n ونرمز لها ب ⁿ√x

11.3 خاصية

لتكن x و y عددين موجبين و n و m عددين طبيعيين وغير منعدمين
ⁿ√(xy)=ⁿ√x . ⁿ√y
(ⁿ√x)^m=ⁿ√x^m
n√xⁿ=(ⁿ√x)ⁿ = x
بالاضافة اذا كان y>0 فان

n√x	= n√(	x	)
n√y		y

ⁿ√x = ⁿ√x ⇔ x=y
ⁿ√x < ⁿ√y ⇔ x< y
ⁿ√^m√x = ^nm√x

برهان

^nm√x = y ⇔ x = y^nm ⇔ x=(yⁿ)^m
⇔ yⁿ = ^m√x ⇔ y=ⁿ√(^m√x)

تمارين

بسط ³√125 ; ³√(8/27) ; ⁴√(81.16) ; √(³√81)
رتب الاعداد التالية : √2 ; ³√3 ; ⁴√4 ; ⁶√6
اجعل مقام كل من الاعداد التالية عددا جذريا

1	;	1
3√2 +1		3√5 - 3√2

13.3 خاصية

اذا f موجبة ومتصلة على مجال I فان √f و ⁿ√f متصلتان على I

تمرين

لتكن f: x→ⁿ√(x²+5)
بين ان f متصلة على IR

تصحيح :

لدينا ∀x∈IR: x²+5 > 0 والدالة x→x²+5 متصلة على IR
فان x→√(x²+5) و x→ⁿ√(x²+5) متصلتان على IR

12- الدوال العكسية الاعتيادية :

12.1 f:x→ⁿ√(x)

الدالة x→ⁿ√(x),n∈IN* تقابل وتزايدية قطعا على IR ودالتها العكسية x→xⁿ معرفة على IR+
لدينا ∀(x;y)∈IR+²: ⁿ√y=x⇔y=xⁿ

13- القوى الجذرية لعدد حقيقي موجب قطعا

13.1 تعريف

ليكن x∈IR*+ و r عدد جذري غير منعدم بحيث

p∈Z* و q∈IN* حيث	r =	p
		q

العدد x^r يسمى قوى جذرية للعدد x ونكتب x^r=^q√x^p

امثلة :

3^2/5 = ⁵√3²
2^4/3 = ³√2⁴
π^-5/7 = ⁷√π^-5

13.2 خاصيات

ليكن x>0 و r∈Q*; الدالة x→x^r متصلة على IR*+
ليكن x و y عددين حقيقيين موجبين قطعا و r و r' عددين جذريين وغير منعدمين

xr . xr' = xr+r'
xr.xr' = xr.r'
(xr)r' = xr.r'

x-r =	1	;	xr	= xr-r'
	xr		xr'

xr	= (	x	)r
yr		y

x1/n = n√x ; n∈IN*