1.4- Operations sur les fonctions continues

1.4.1 Propriétés

Soient f et g deux fonctions continues sur un intervalle I et k∈IR.
1) Les fonctions f+g ; kf et f.g sont également continues sur I.
2) Si (∀x∈I): g(x)≠0 alors

sont également continues sur I.

Remarque
Les propriétés précédentes restent vraies pour la continuité en un point.

1.4.2 Fonctions polynômes et Fonctions rationnelles

Résultat 1
Toute fonction polynôme est continue sur IR.

Exemple
Soit f une fonction définie par
f(x)=2x³+x²+3.
f est une fonction polynôme donc elle est continue sur IR.

Résultat 2
Toute fonction rationnelle est continue sur son domaine de définition.

Exemple
Soit f une fonction définie par

1) Déterminer D, l'ensemble de définition de f.
2) Etudier la continuité de f sur D.

Correction
1) f est définie si x²-1≠0
ou encore si x≠-1 et x≠1
donc D=IR\{-1;1}.
2) f est une fonction rationnelle
donc elle est continue sur D.

Exercice 1 tp

Soit f une fonction définie par

Etudier la continuité de f sur IR.

Correction

1) On étudie la continuité de f sur l'intervalle ouvert ]-∞;2[.
On a x→-x²+4x est la restriction d'une fonction polynôme sur ]-∞;2[ donc continue sur IR
et en particulier sur ]-∞;2[
ainsi f est continue sur ]-∞;2[.
2) On étudie la continuité de f sur l'intervalle ouvert ]2;+∞[.

On a x→x+2 est la restriction d'une fonction polynôme sur ]2;+∞[ donc continue sur IR et en particulier sur ]2;+∞[
ainsi f est continue sur ]2;+∞[.
3) On étudie la continuité de f au point 2.
On a f(2)=-2²+4.2=4.

Donc f est continue à gauche à 2.

Donc f est aussi continue à droite à 2.
f est donc continue à droite et à gauche à 2.
Ainsi f est continue au point 2.
Et donc f est continue sur ]-∞;2[ ; ]2;+∞[ et au point 2.
Finalement f est continue sur IR.

Exercice 2 tp

Soit f une fonction définie par

1) Déterminer D, le domaine de définition de f.
2) Etudier la continuité de f sur D.