Rappel
1) Si une fonction f est continue et strictement monotone sur un intervalle I alors elle existe une fonction unique, appelée fonction réciproque notée f^-1 définie sur J=f(I) vers I par

2) Soit f une fonction définie d'un intervalle I vers IR.
Si f vérifie les deux conditions suivantes
(i) f est continue sur I
(ii) La fonction f est strictement monotone sur I
Alors
(a) J=f(I) est aussi un intervalle
(b) f est bijective de I vers J

(c) La bijection réciproque f^-1 est aussi une fonction continue sur I, strictement monotone sur I et de même variation (càd si f est strictement croissante alors f^-1 est aussi strictement croissante sur I)
(d) (C_f) et C_f^-1 sont symétriques par rapport à la droite d'équation y = x

3) Si f est une fonction positive et continue sur in tervalle I
alors √f et ⁿ√f sont continues sur I

Exercice 1 tp

Soit f une fonction définie par
f(x) = 2x + 1

1) Montrer que f admet une fonction réciproque de J ver IR
2) Déterminer J et f^-1(x)

Exercice 2 tp

Soit f une fonction numérique définie
de I = 1 ; +∞[ vers J = [-1 ; +∞[ par
f(x) = x² - 2x
1) Montrer que f admet une fonction réciproque f^-1 définie de J vers I
2) Déterminer f^-1

Correction

1) f est la restriction d'un polynôme donc continue et dérivable sur I
Soit x∈I
f'(x) = 2x - 2

x∈I ⇔x ≥ 1 ⇔2x ≥ 2
⇔2x - 2 ≥ 0 ⇔ f'(x) ≥ 0
donc ∀x∈]1 ; +∞[ f'(x) > 0
ainsi f est strictement croissante sur I
On a donc f est continue et strictement monotone sur I
donc f admet une fonction réciproque f^-1 définie de f(I) vers I
f(I) = [-1 ; +∞[
car f(1) = 1²-2.1 = -1

Et

2) Déterminons la fonction réciproque f^-1
Soit y∈J
f(x) = y , x∈I ⇔ x²-2x = y , y∈J
⇔ x²-2x+1 = y+1
⇔ (x-1)² = y+1
⇔ | x - 1 | = √(y+1) car y ≥ -1
⇔ x - 1 = √(y+1) car x ≥ 1

⇔ x = 1 + √(y+1)
√(y+1) ≥ 0 donc 1 + √y ≥ 1
donc x existe et appartient à I
Ainsi ∀y∈J, f^-1(y) = 1 + √(y+1)
Puisque x est généralement considéré comme un variable de fonction, il est possible de changer y en x
alors f^-1(x) = 1 + √(x+1) avec x∈J.