4- فرضية تساوي الاحتمال

مثال

يحتوي صندوق على كرتين , واحدة بيضاء B والثانية خضراء V واحتمال سحب كرة بيضاء ضعف احتمال كرة خضراء
نسحب عشوائيا كرة من الصندوق
احسب p(B) و p(V).

تصحيح

لدينا Ω={B;V} و p(Ω)=p(B)+p(V)=1
وبما ان p(B)=2p(V) اذن 2p(V)+p(V)=1 ومنه فان 3p(V)=1
اذن

p(B)=1-	1	و p(V )=	1
	3		3

ومنه فان

p(B)=	2
	3

ملاحظة

لدينا p(B)≠p(V) في هذه الحالة B و V غير متساويي الاحتمال

تعريف

في تجربة عشوائية , اذا كانت جميع الامكانيات لها نفس الحظوظ لتتحقق فانه توجد فرضية تساوي الاحتمال
الخاصية التالية تبين ان كل امكانية لها كاحتمال

p=	1
	n

حيث n هو عدد الامكانيات في التجربة العشوائية
اذن يمكن حساب احتمال حدث E بالطريقة التالية

p(E)=	عدد النتائج المحققة
	عدد النتائج الممكنة
p(E)=	cardE
	cardΩ

تمرين 1

يحتوي صندوق على 3 كرات بيضاء وكرتين خضراوين , جميع الكرات لايمكن التمييز بينها باللمس . نسجب تآنيا اي في مرة واحدة كرتين من الصندوق. احسب احتمال كل من الاحداث التالية
1) B: سحب كرتين بيضاوين
2) D: سحب كرتين مختلفتين اللون
3) M: سحب كرتين من نفس اللون

5- اتحاد وتقاطع حدثين

5.1 خاصيات

لتكن E و F حدثين من الفضاء الاحتمالي المنته (Ω;p)
اذا E∩F=∅ فان p(E∪F)=p(E)+p(F) .
اذا E∩F≠∅ فان
p(E∪F)=p(E)+p(F)-p(E∩F) .

5.2 مثال

لتكن E و F حدثين بحيث p(E)=0,5 و p(F)=0,7
1) هل E و F غير منسجمين ?
2) اذا كان p(E∪F)=0,8 احسب p(E∩F)

تصحيح

1) لدينا p(E)+p(F)=0,5+0,7=1,2 > 1 اذن E∩F≠∅
وبالتالي E و F منسجمان .
2) لدينا p(E∪F)=p(E)+p(F)-p(E∩F)
او 0,8=0,5+0,7-p(E∩F)
او p(E∩F)=1,2-0,8=0,4 وبالتالي p(E∩F)=0,4 .

تمرين

يحتوي صندوق على 3 كرات بيضاء كرتين حمراوين وكرتين خضراوين , جميع الكرات لا يمكن التمييز بينها باللمس . نسحب بالتتابع وبدون احلال اي اي ة كرة تسحب لا تعاد الى الصندوق . احسب احتمال كل من الاحداث التالية
1) BV: سحب اولا كرتين بيضاوين ثم كرة خضراء
2) D: سحب 3 كرات من الوان مختلفة
3) M: سحب 3 كرات من نفس اللون

5- الاحتمال الشرطي

5.1 انشطة وتعريف

5.1.1 انشطة

مجموعة اسرية مكونة من 10 امراة و12 رجلا قررت القيام بنزهة فاختلفت الوجهة بين الذهاب الى الشاطئ اوالى القرية. فكانت النتائج كالتالي

القرية	الشاطئ
3	7	النساء
8	4	الرجال

كما يبين الجدول تعادلت الكفة بين الفريقين, فرجع القرار الى من هو اكبر سنا
1) ما هو احتمال ان يكون القرار لامرأة؟
2) ما هو احتمال ان يكون القرار لرجل؟
3) علما ان القرار لفتاة فما هو احتمال ان تكون الوجهة الى القرية؟
4) اذا كانت الوجهة الى الشاطئ فما هو احتمال ان يكون القرار لرجل؟

5.1.2 تعريف

الاحتمال الشرطي هو احتمال حدث E علما ان حدثا F محقق سابقا. ونكتب p(E|F) او p_F(E) ومعرف كما يلي

p(E) F	= p(E|F) =	p(E∩F)
		p(F)

ونقرأ, احتمال E علما F
نتيجة : p(E∩F)=p(F).p(E|F) = p(E).p(F|E)

تمارين

E و F حدثان:
1. اذا كان p(E|F)=0,5 و p(E∩F)=0,2 فاحسب p(F)
2. اذا كان p(F|E)=0,3 و p(E)=0,5 فاحسب p(E∩F)
3. اذا كان p(F)=0,3 و p(E)=0,7 و p(E∪F)=0,8 فاحسب p(E∩F) ثم p(E|F) و p(F|E)

5.2 صيغة الاحتمالات الكلية

5.2.1 تجزئة

الاحداث U1 و U2 و.. و Un تكون تجزئة في الافضاء الاحتمالي Ω اذا وفقط اذا كانت منفصلة مثنى مثنى واتحادها هو Ω

5.2.2 خاصيات

الاحتمال الكلي ليكن E حدثا من Ω لدينا E=E∩Ω و
p(E)=p(U1).p(E|U1)+p(U2).p(E|U2) +...+ p(Un).p(E|Un)

5.2.3 مثال:

A و B قطعتان نقديتان حيث A مغشوشة
يعني احتمال ظهور الظهر يساوي 1/3
نختار عشوائيا قطعة ثم نرميها في الهواء .
1. احسب احتمال ظهور الوجه
2. علما ان ظهور الوجه فما هو احتمال ان يكون من القطعة A

تصحيح :

لدينا p(A)=0,5 ; p(B)=0,5 ; p(F)=p(A).p(F|A)+p(B).p(F|B)
اذن p(F)=(0,5) . 1/3 + (0,5) . (0,5) =5/12