6- استقلالية حدثين واستقلالية اختبارين

6.1 استقلالية حدثين

تعريف

نقول ان حدثينمستقلان اذا لم يكن لانجاز احدهما تاثير على تحقيق الآخر.
بتعبير آخر , حدثان مستقلان عند انجاز متتابع
يعني p(E∩F)=p(E).p(F) او p(E|F)=p(E).

6.2 حدثان مرتبطان

تعريف

E و F حدثان مرتبطان يعني p(E∩F)≠p(E).p(F).

6.3 الاختبارات غير المرتبطة

6.3.1 الاختبارات المتكررة

مثال

يحتوي صندوق على 3 كرات حمراء وكرتين خضراوين , لا يمكن التمييز بينها باللمس . نسحب عشوائيا كرتين بالتتابع وبدون احلال اي الكرة التي تسحب لاتعاد الى الصندوق
ليكن الحدث E : "سحب كرتين حمراوين"
1. احسب p(E)
2. نعيد هذا الاختبار 5 مرات
احسب احتمال تحقق الحدث E مرتين بالضبط

تصحيح

1. p(E)= A²₄/A²₆ = 4.3/(6.5) = 2/5
2. مثل هذاالسؤال يتم انجازه عبر مرحلتين , اولا تحديد المكانين ل E و E:

(توجد C²₅ امكانية وهذه واحدة

E

Ē

E

Ē

Ē

ثانيا ,سبق انجازها من قبل , اختيار كرتين حمراوين : احتمال هذا الحدث 2/5
نضع H "الحدث E يتحقق بالضبط مرتين" وبناء على ذلك فان الاحتمال المضاد Ē ( يتحقق 3 مرات 5-2=3 )

p(H) = C²5(2/5)².(1- 2/5)³

6.3.2 خاصية

ليكن (W;p) فضاء احتماليا منتهيا و E حدثا في W
اذا كررنا اختبار n مرة فان احتمال الحدث E يتحقق k مرة بالضبظ معرف بصيغة الحدانية

p(H) = Ckn(p(E))k.(1- p(E))n-k

k∈{0;1;2;...;n}

تمرين

نرمي نردا على طاولة مرة واحدةونعتبر الحدث E ظهور الوجه الذي يحمل رقما يقبل القسمة على 3 .
نكرر هذا الختبار 4 مرات , احسب احتمال تحقق الحدث E مرتين بالضبط

7- المتغير العشوائي و قانون احتمال المتغير العشوائي

7.1 المتغير العشوائي

7.1.1 انشطة

يحتوي صندوق على 7 اقراص مرقمة من 1 الى 7 نسحب عشوائيا قرصا من الصندوق, اذا كان يحمل رقما قابلا للقسمة على 3فان اللاعب يربح 5 كتب واذا كان غير ذلك يسحب منه 4 كتب
لدينا W={1;2;3;4;5;6;7} التطبيق او الدالة المعرفة على W ونرمز لها ب x تسمى متغيرا عشوائيا وصورة W ب x نرمز لها ب X(W) اذن X(w)={-4 ; 5}

7.1.2 تعريف

ليكن (w;p) فضاء احتماليا منتهيا, عندما نربط كل عنصر من w بعدد حفيفي xi نكون قد عرفنا متغيرا عشوائيا في w ونرمز له ب x .
ونرمز لصورة w ب x(w)={x1;x2; .. ; xn}

7.1.3 مثال

ناحذ المثال السابق

w	1	2	3	4	5	6	7
x	-4	-4	5	-4	-4	5	-4
p	1/7	1/7	1/7	1/7	1/7	1/7	1/7

نهتم الى قيم الربح

xi	-4	5	المجموع
p(x=xi)	5/7	2/7	1

7.2 قانون احتمال متغير عشوائي

7.2.1 تعريف

القانون الاحتمالي لمتغير عشوائي x:
هو تطبيق يربط كل عنصر من x(w) باحتمال الاحدث "x = xi" ولتحديده نحدد اولا x(w) ثم نحسب الاحتمالات p(x=xi) ونلخص هذه النتائج في جدول

xi	x1	x2	...	xq
p(x=xi)	p(x=x1)	p(x=x2	...	p(x=xq)

7.3 الامل الرياضي والمغايرة والانحراف الطرازي لمتغير عشوائي

7.3.1 تعاريف

ليكن (w;p) فضاء احتماليا منتهيا و x متغيرا عشوائيا معرفا في w
اذا كان x(w)={x1;x2;...;xq} فان :

الامل الرياضي ونرمز له ب E(x) معرف بما يلي
E(x)= x1.p(x=x1)+x2.p(x=x2) +...+ xq.p(x=xq)
المغايرة لمتغير عشوائي x ونرمز لها ب V(x) معرفة كما يلي
V(x)= E(x²)-(E(x))²
و الانحراف الطرازي لمتغير عشوائي x ونرمز له ب σ(x) معرف كما يلي
σ(x)=√(V(x))

7.3.2 مثال

نرجع مرة ثانية الى المثال السابق
E(x)= -4.p(x=-4)+5.p(x=5)
=-4.5/7 + 5.2/7 = -10/7
V(x)= E(x²)-(E(x))² نحسب E(x²)
E(x²)= (-4)².p(x=-4)+5²p(x=5)
= 16.5/7 + 25.2/7 = 130/7
اذن المغايرة
V(x)=130/7-(-10/7)²=810/49
ومنه فان الانحراف الطرازي
σ(x)= √(180/49) = 90/7