A savoir
1) Deux vecteurs sont colinéaires s'ils ont la même direction
2) Le plan est rapporté au repère orthonormé
(O ; i^→ ; j^→)
u^→(a ; b) et v^→(a' ; b') sont deux vecteurs colinéaires s'il existe un nombre réel k tel que v^→ = ku^→ En d'autre terme
u^→(a;b) et v^→(a';b') sont colinéaires signifie ( a' = ka et b' = kb) signifie

a'	=	b'	= k	, a≠0 et b≠0
a		b

Exercice 1 tp

Le plan est rapporté au repère orthonormé
(O ; i^→ ; j^→)
Soient u^→(2 ; 1) et v^→(4 ; 5) deux vecteurs
u^→ et v^→ sont ils colinéaires?

Correction

Si u^→ et v^→ sont colinéaires alors il existe un nombre réel k tel que v^→ = ku^→
ou encore (4 = 2k et 5 = k)
donc (k=2 et k=5) et c'est impossible donc k n'existe pas k
alors u^→ et v^→ ne sont pas colinéaires

Exercice 2 tp

Le plan est rapporté au repère orthonormé
(O ; i^→ ; j^→)
Soit u^→(-5 ; 4) et v^→(10 ; -8) deux vecteurs
u^→ et v^→ sont il colinéaires ?

Correction

Si u^→ et v^→ sont colinéaires alors il existe un nombre réel k tel que v^→ = ku^→
ou encore (10 = -5k et -8 = 4k)
ou encore (k=-2 et k=-2) donc il existe un nombre k=-2 tel que v^→ = -2u^→
ainsi u^→ et v^→ sont colinéaires

Exercice 3 tp

Le plan est rapporté au repère orthonormé
(O ; i^→ ; j^→)
Soient x∈IR et u^→(1 - 2x ; -2) et v^→(5x ; 4) deux vecteurs
Déterminer x sachant que u^→ et v^→ sont colinéaires

Correction

u^→ et v^→ sont colinéaires signifie

5x	=	4
1 - 2x		-2

Signifie 5x.(-2) = (1 - 2x).(4)
signifie -10x = 4-8x signifie -2x = 4
signifie x = -2 ainsi u^→(-10 ; 4) et v^→(5 ; -2)

A savoir Soientt u^→(a;b) et v^→(a';b') deux vecteurs
1) Le nombre ab' - a'b s'appèlle déterminant de u^→ et v^→ noté det(u^→ ; v^→) = ab' - a'b
2) u^→ et v^→ sont colinéaires
signifie det(u^→ ; v^→) = 0
3) A ; B ; C sont trois points alignés signifie AB^→ ; AC^→ sont colinéaires
signifie det(AB^→ ; AC^→) = 0

Exercice 4 tp

Dans le plan rapporté au repère orthonormé
(O ; i^→ ; j^→) on considère les points
A(1 ; -2) ; B(3 ; -9) ; C(-3 ; 12)
1) Vérifier que A ; B ; C sont alignés
2) Les points E(2;5) ; F(4;3) ; G(1;0) sont ils alignés ?

Correction

1) On a AB^→(2 ; -7) et AC^→(-4 ; 14)

det(AB→ ; AC→) =		2	-4
		-7	14

= 2.14 - (-7)(-4)=0

Donc det(AB^→ ; AC^→) = 0
ainsi AB^→ et AC^→ sont colinéaires
alors A ; B et C sont alignés
2) On a EF^→(2 ; -2) et EG^→(-1 ; -5)

det(EF→ ; EG→) =		2	-1
		-2	-5

= 2.(-5) - (-2)(-1) = -10 - 2 = -12
donc det(EF^→ ; EG^→) ≠ 0
et donc EF^→ et EG^→ ne sont pas colinéairs
alors E ; F et G ne sont pas alignés

Exercice 5 tp

Soient ABC un triangle et E et F deux points définis par
3BF^→ = AB^→ + 3AC^→
et 3AE^→ = 2AB^→ + (1,5)AC^→
1) Ecrire AE^→ et AF^→ en fonction de AB^→ et AC^→ et déduire ?
2) On se place sur le repère (A ; AB^→ ; AC^→)
Déterminer les coordonnées de E et de F et déduire les coordonnées de AE^→ et AF^→