Exercice 1 tp

Dans le plan rapporté au repère orthonormé
(O ; i^→ ; j^→) on considère une droite (D) passant par le point
A(2 ; 3) et orientée par u^→(1 ; 4)
Déterminer une équation cartésienne de (D)

Correction

Méthode 1
une équation cartésienne de (D) s'écrit
sous la forme ax + by + c = 0
et u^→(-b ; a) son vecteur directeur
Puisque u^→(1 ; 4) est un vecteur
directeur de (D) alors (-b = 1 et a = 4 )

Donc une équation cartésienne de (D) s'écrit
sous la forme 4x - y + c = 0
On a A(2 ; 3)∈(D) donc le couple (2 ; 3) vérifie l'équation de (D)
ainsi 4.2 - 3 + c = 0 ou encore c = -5
alors 4x - y - 5 = 0 est une équation cartésienne de (D)
Méthode 2
M(x ; y)∈(D) signifie
AM^→(x - 2 ; y - 3) et u^→(1 ; 4) sont colinéaires
signifie det(AM^→ ; u^→) = 0
signifie (x-2).4 - (y-3).1 = 0
donc 4x - y - 5 = 0 est une équation cartésienne de (D)

Exercice 2 tp

Dans le plan rapporté au repère orthonormé
(O ; i^→ ; j^→) on considère une droite (D) passant par le point
A(0 ; 1) et u^→(-2 ; 5) son vecteur directeur
Déterminer une équation cartésienne de (D)

Correction

Méthode 1
une équation cartésienne de (D) s'écrit
sous la forme ax + by + c = 0
et u^→(-b ; a) son vecteur directeur
puisque u^→(-2 ; 5) est un vecteur
directeur de (D) alors ((-b) = -2 et a = 5)

Donc 5x + 2y + c = 0
On a A(0 ; 1)∈(D) donc le couple (0 ; 1) vérifie l'équation de (D)
ainsi 5.0 + 2.1 + c = 0 ou encore c = -2
alors 5x + 2y - 2 = 0 une équation cartésienne de (D)
Méthode 2
M(x ; y)∈(D) signifie
AM^→(x - 0 ; y - 1) et u^→(-2 ; 5) sont colinéaires
signifie det(AM^→ ; u^→) = 0
signifie (x-0).5 - (y-1).(-2) = 0
donc 5x + 2y - 2 = 0 est une équation cartésienne de (D)

Exercice 3 tp

Dans le plan rapporté au repère orthonormé
(O ; i^→ ; j^→) on considère deux points
E(2 ; 1) و F(7 ; 3)
Déterminer une équation cartésienne de (EF)

Correction

Méthode 1
On a 7-2 = 5≠0 et 3-1 = 2≠0
donc une équation cartésienne de (EF) s'écrit sous la forme

x - 2	=	y - 1
5		2

Ou encore 2(x-2) = 5(y-1) ou encore 2x - 5y - 4 + 5 = 0
alors 2x - 5y + 1 = 0 une équation cartésienne de (EF)

Méthode 2
(EF) est une droite passant par E(2 ; 1) et EF^→(7 - 2 ; 3 - 1) son vecteur directeur
une équation cartésienne de (EF) s'écrit sous la forme
ax + by + c = 0 et u^→(-b ; a) son vecteur directeur
Puisque EF^→(5 ; 2) est un vecteur
directeur de (EF) alors ((-b) = 5 et a = 2)

Donc son équation s'écrit sous la forme
2x - 5y + c = 0
On a E(2 ; 1)∈(EF) donc le couple (2 ; 1) vérifie l'équation de (EF)
ainsi 2.2 - 5.1 + c = 0 ou encore c = 1
alors 2x - 5y + 1 = 0 une équation cartésienne de (EF)

Exercice 4 tp

Dans le plan rapporté au repère orthonormé
(O ; i^→ ; j^→) on considère deux points
E(-3 ; 2) و F(1 ; 7)
Déterminer une équation cartésienne de (EF)

Correction

On a 1-(-3) = 4≠0 et 7-2 = 5≠0 donc une équation cartésienne de (EF) s'écrit sous la forme

x - (-3)	=	y - 2
4		5

ou encore 5(x+3) = 4(y-2)
ou encore 5x - 4y + 15 + 8 = 0
ainsi 5x - 4y + 23 = 0 une équation cartésienne de (EF)