Exercice 1 tp

Dans le plan rapporté au repère orthonormé
(O ; i^→ ; j^→) on considère deux droites
(D): x = 1
(D'): y = 2
Déterminer le point de rencontre entre (D) et (D')

Correction

On désigne par A(x_A ; y_A) au point de rencontre entre (D) et (D')
A ∈ (D) ∩ (D') signifie A ∈ (D) et A∈(D')
A(x_A ; y_A) ∈ (D) signifie x_A = 1
A(x_A ; y_A) ∈ (D') signifie y_A = 2
donc A(1 ; 2)

Exercice 2 tp

Dans le plan rapporté au repère orthonormé
(O ; i^→ ; j^→) on considère les droites
(D): x + y - 1 = 0
(D₁): x = 3
(D₂): y = 4
1) Déterminer le point de rencontre entre (D) et (D₁)
2) Déterminer le point de rencontre entre (D) et (D₂)
3) Déterminer le point de rencontre entre (D₁) et (D₂)

Correction

1) On désigne par A(x_A ; y_A) au point de rencontre entre (D) et (D₁)
A ∈ (D) ∩ (D₁) signifie A ∈ (D) و A∈(D₁)
A(x_A ; y_A) ∈ (D) signifie x_A + y_A - 1 = 0
A(x_A ; y_A) ∈ (D₁) signifie x_A = 3
On résout donc le système suivant

donc 3 + y_A - 1 = 0 ou encore y_A = -2
ainsi A(3 ; -2)

2) On désigne par B(x_B ; y_B) au point de rencontre entre (D) et (D₂)
B ∈ (D) ∩ (D₂) signifie B ∈ (D) و B∈(D₂)
A(x_B ; y_B) ∈ (D) signifie x_B + y_B - 1 = 0
B(x_B ; y_B) ∈ (D₂) signifie y_B = 4
On résout donc le système suivant

donc x_B + 4 - 1 = 0 ou encore x_B = -3
ainsi B(-3 ; 4)

3) On désigne par E(x_E ; y_E) au point de rencontre entre (D₁) et (D₂)
E ∈ (D₁) ∩ (D₂) sifnifie E ∈ (D₁) و E∈(D₂)
E(x_E ; y_E) ∈ (D₁) sifnifie x_E = 3
E(x_E ; y_E) ∈ (D₂) sifnifie y_E = 4
ainsi E(3 ; 4)

Exercice 3 tp

Dans le plan rapporté au repère orthonormé
(O ; i^→ ; j^→) on considère deux droites
(D): x - y + 2 = 0 et (D'): x + y - 4 = 0
1) Montrer que (D) et (D') sont sécantes
2) Déterminer E le points de rencontre entre (D) et (D')

Correction

1) u^→(1 ; 1) est un vecteur directeur de (D)
v^→(-1 ; 1) est un vecteur directeur de (D')
det(u^→ ; v^→) = 1.1-1.(-1) = 2≠0 donc u^→ et v^→ ne sont pas colinéaires alors (D) et (D') sont sécantes

Autre méthode u^→ et v^→ sont colinéaires donc il existe un nombre k∈IR
tel que v^→ = ku^→
ou encore (-1 = 1.k et 1 = 1.k)
ou encore (k = -1 et k = 1) et c'est impossible donc k n'existe pas et donc u^→ et v^→ ne sont pas colinéaires
2) Pour déterminer E on résout le système

on fait la somme les équations on obtient
x-y+2+(x+y-4) = 0

ou encore 2x-2 = 0 donc x = 1
puis on substitue x = 1 dans l'une des équations
par exemple x+y-4 = 0 donc 1+y-4 = 0 ou encore y=3
on obtient (D)∩(D') = {E(1 ; 3)}