Exercice 1 tp

Dans le plan rapporté au repère orthonormé
(O ; i^→ ; j^→) on considère deux droites
(D): x - 2y + 3 = 0 et (D'): 2x + y + 1 = 0
1) Tracer (D) et (D')
2) Montrer que (D)⊥(D')
3) Déterminer le points de rencontre entre (D) et (D')
4) Déterminer une équation de la droite (D") passant par E(2 ; 0) et orthogonale à (D)
5) Déterminer la position relative entre (D') et (D") ?

Correction

1) A savoir Deux points distincts déterminent une droite

x = -3	;	y = 0	→	A(-3 ; 0)∈(D)
x = 1	;	y = 2	→	B'(1 ; 2)∈(D)

donc la droite (D) passe par A et B
donc (D) = (َAB)

x = 0	;	y = -1	→	A'(0 ; -1)∈(D')
x = -1	;	y = 1	→	B(-1 ; 1)∈(D')

la droite (D') passe par A' et B'
donc (D') = (A'B')

2) Coefficient directeur de la droite (D)
x - 2y + 3 = 0 signifie 2y = x + 3

y =	1	x +	3
	2		2

donc

m =	1
	2

m = (0,5) est le coefficient directeur de (D)

Coefficient directeur de (D')
2x+y+1=0 signifie y = -2x - 1
donc m' = -2 est le coefficient directeur de (D')
Puisque m.m'=-1 alors (D)⊥(D')

3) On résout le système suivant pour le points de rencontre entre (D) et (D')

{	y = -2x - 1
	x - 2y + 3 = 0

on peut utiliser la méthode de substitution

{	y = -2x - 1
	x - 2(-2x - 1) + 3 = 0

signifie

{	y = -2x - 1
	5x = -5

donc

{	y = - 2.	(-1)	- 1 = 1
	x =	- 5	= -1
		5

Ainsi

{	y =	1
	x =	-1

alors (D) ∩ (D') = {E(-1 ; 1)}
4) (D)⊥(D") donc m.m" = -1 ou encore m" = -2
ainsi une équation de (D") s'écrit sous la forme
y = -2x + p"
Puisque E∈(D") alors le couple (2 ; 0) vérifie l'équation
0 = -2.2 + p" ou encore p" = 4
ainsi (D"): y = -2x + 4
ou encore (D"): 2x + y - 4 = 0

5) On a (D)⊥(D') et (D)⊥(D")
donc (D') || (D")
Est ce que (D') et (D") sont strictement parallèles ?
on a A'(0 ; -1)∈(D') est ce que A'(0 ; -1)∈(D") ?
(D") : y = -2x + 4
-1 = -2.0 + 4 signifie -1 = 4 et ce n'est pas possible donc A'(0 ; -1)∉(D")
ainsi (D') ≠ (D") alors elles sont strictement parallèles