3.2.2 طريقة التآلفية الخطية

مثال
حل في IR×IR النظمة التالية

{	7x + 4y = 10	(1)
	5x + 13y = -3	(2)

تصحيح
اولا نهتم ب 4y من المعادلة (1)
وب 13y من المعادلة (2)
لدينا 13×4y + (-4)×13y = 52y-52y=0.

نضرب طرفي المعادلة الاولى في 13 وطرفي المعادلة الثانية في (-4)

فنحصل على

{	91x + 52y = 130
	-20x - 52y = 12

والآن نقوم بعملية جمع طرفي المعادلتين طرفا طرفا 91x+52y+(-20x-52y)=130+12
اي 71x=142=71.2 اذن x=2 .

ملاحظة
يمكن ان نعوض قيمة x=2 في احدى المعادلتين للحصول على قيمة y نختار مثلا المعادلة (1) 7x+4y=10
اذن 7.2+4y=10 اي 4y=10-14=-4
اذن y=-1
ومنه فان S={(2;-1)}.

يمكن ان نواصل بنفس الطريقة التي بدأنا بها والتي حصلنا بها على قيمة x.
نهتم اذن في هذه المرة ب 7x من المعادلة الاولى
وب 5x من المعادلة الثانية.
لدينا -5×7x+7×5x=-35x+35x=0.
نضرب اذن طرفي المعادلة الاولى في (-5) وطرفي المعادلة الثانية في 7 فنحصل على

{	-35x - 20y = -50
	35x + 91y = -21

الآن نقوم بعملية جمع طرفي المعادلتين طرفا طرفا
-35x-20y+35x+91y=-50-21
يعني 71y=-71
يعني y=-1
اذن x=2 و y=-1
وبالتالي S={(2;-1)}.

حالة عامة
نعتبر النظمة التالية

{	ax + by = c	(1)
	a'x + b'y = c'	(2)

لدينا اذن

{	b'(ax+by-c)-b(a'x+b'y-c') = 0	(3)
	-a'(ax+by-c)+a(a'x+b'y-c') = 0	(4)

يعني

{	(ab'-a'b)x = cb'-c'b
	(ab'-a'b)y = ac'-a'c

اذا كان ab'-a'b≠0 فان النظمة تقبل حلا وحيدا

(	cb' - c'b	;	ac' - a'c	)
	ab'-a'b		ab'-a'b

مجموعة حلول النظمة اذن

S = {(	cb' - c'b	;	ac' - a'c	)}
	ab'-a'b		ab'-a'b