Equations Inéquations et Systèmes (14)
3.2.2 Méthode de combinaison lineaire
Exemple
Résoudre dans IR×IR le système suivant
{ | 7x + 4y = 10 | (1) |
5x + 13y = -3 | (2) |
Correction
On s'interesse à 4y de l'équation (1) et à 13y de l'équation (2)
On a 13×4y+(-4)×13y=52y-52y=0
On multiplie les deux membres de l'équation (1) par 13.
et les deux membres de l'équation (2) par (-4).
On obtient
{ | 91x + 52y = 130 |
-20x - 52y = 12 |
Maintenant on fait la somme membre à membre de deux équations
91x+52y+(-20x-52y)=130+12
ou encore 71x=142=71.2 donc x=2.
Notons
qu'on peut remplacer x=2 dans l'une des deux équations pour obtenir la valeur de y.
On choisit par exemple l'équation (1)
7x+4y=10
donc 7.2+4y=10 signifie 4y=10-14=-4
et donc y=-1
ainsi S={(2;-1)}.
Nous pouvons continuer comme nous avons commencé.
2) On s'interesse donc à 7x de l'équation (1) et à 5x de l'équation (2).
On a -5×7x+7×5x=-35x+35x=0.
On multiplie les deux membres de l'équation (1) par -5 et les deux membres de l'équation (2) par 7 on obtient
{ | -35x - 20y = -50 |
35x + 91y = -21 |
Maintenant on fait la somme membre à membre de deux équations
-35x-20y+35x+91y=-50-2
signifie 71y =-7 donc y=-1
et donc S={(2;-1)}.
Cas général On considère le système
(S) { | ax+by = c | (1) |
a'x+b'y = c' | (2) |
on a donc
{ | b'(ax+by-c)-b(a'x+b'y-c')= 0 | (3) |
-a'(ax+by-c)+a(a'x+b'y-c')=0 | (4) |
signifie { | (ab'-a'b)x = cb'-c'b |
(ab'-a'b)y = ac'-a'c |
sI ab'-a'b≠0 alors le système admet une solution unique
( | cb' - c'b | ; | ac' - a'c | ) |
ab'-a'b | ab'-a'b |
L'ensemble des solutions du système est donc
S = {( | cb'-c'b | ; | ac'-a'c | )} |
ab'-a'b | ab'-a'b |