Exercice 1 tp

Soient f et g deux fonctions numériques définies par
f(x)=2x²-4x+2 et g(x)=2(x-1)²
1) Déterminer l'ensemble de définition de chacune de f et de g
2) Comparer f et g.

Correction

1) La fonction f est un polynôme donc D_f=IR
la fonction g est le produit de deux polynômes donc D_g=IR.
2) Rappel f = g signifie D_f=D_g et pour tout x∈D on a f(x)=g(x).

On a la première condition est vérifiée D_f=D_g
Soit x∈D = IR
g(x)=2(x-1)²=2(x²-2x+1)
=2x²-4x+2=f(x)
et donc la deuxième condition est également vérifiée alors f=g.

Exercice 2 tp

Soient f et g deux fonctions définies par

1) Comparer f et g.
2) Si f≠g déterminer E tel que pour tout x∈E on a f(x)=g(x).

Correction

1) f est un polynôme donc D_f=IR.
g(x)∈IR si x-1≠0 ou encore x≠1
donc D_g=IR\{1}
puisque D_f≠D_g alors f≠g.
2) Si x≠1 alors

g(x) =	x² - 2x + 1	=	(x-1)²
	x-1		x-1

on simplifie par x-1 on obtient g(x)=x-1
et donc pour tout x∈IR\{1} on a f(x)=g(x)
ainsi E=IR\{1}.

Exercice 3 tp

Soient f et g deux fonctions numériques définies par
f(x)=√(x²) et g(x)=x.
1) Déterminer l'ensemble de définition de chacune de f et de g.
2) Comparer f et g.

Correction

1)La racine carrée est définie pour des nombres positifs
pour tout x∈IR on a x²≥0 donc D_f=IR
et on a g est un polynôme donc D_g=IR.

2) On compare f et g
la première condition est vérifiée car D_f = D_g
On vérifie donc si la deuxième condition est vérifiée c'est à die est ce que f(x)=g(x) pour tout x∈IR ?
On a √(x²)=|x| donc f(x)≠g(x)
Contre exemple
on pose x=-1 on a f(-1)=|-1|=1
et g(-1)=-1 et cela signifie f(-1)≠g(-1)
et donc la deuxième condition n'est pas vérifiée alors f≠g.

Exercice 4 tp

Soient f et g deux fonctions numériques définies par

1) Déterminer l'ensemble de définition de chacune de f et de g.
2) Comparer f et g.

Correction

1) (a) Ensemble de définition de f
on résout l'équation x²+x-2=0
Δ=b²-4ac=1²-4.1.(-2)=9>0 donc l'équation admet deux solutions

signifie (x=-2 ou x=1) donc D_f=IR\{-2;1}
(b) Ensemble de définition de g
g(x)∈IR signifie x-1≠0 et x+2≠0
x-1=0 signifie x=1
et x+2=0 signifie x=-2

Ainsi D_g=IR\{-2;1}
2) On compare f et g la première condition est vérifiée car D_f = D_g on vérifie la deuxième condition
soit x∈IR\{-2;1} on réduit au même dénominateur de g.

donc si x∈IR\{-2;1} on a f(x)=g(x) alors f=g.