Exercice 1 tp

Soit f une fonction numétique d'une variable réel x définie par

f(x) =	1
	x

1) Déterminer D le domaine de définition de f.
2) Etudier la monotonie de f sur
]-∞;0[ et ]0;+∞[.
3) Dresser le tableau de variations de f.

Correction

1) f est définie si x≠0
donc D=IR*=]-∞;0[∪]0;+∞[
2) (a) Monotonie de f sur I=]0;+∞[
Soient x;y∈I tel que x < y
Puisque x et y sont non nuls et positifs
alors x < y signifie

1	>	1	signifie f(x) > f(y)
x		y

alors f est strictement décroissante sur I.

(b) Monotonie de f sur J=]-∞;0[
soient x;y∈J tel que x < y
Puisque x et y sont non nuls et positifs
alors x < y signifie

1	>	1	signifie f(x) > f(y)
x		y

et donc f est strictement décroissante sur J.
3) Tableau de variations de f

x		-∞		0		+∞
f			↘		↘

Exercice 2 tp

Soit f une fonction numétique d'une variable réel x définie par
f(x)=-2x²+3
1) Etudier la parité de f
2) Etudier la monotonie de f sur IR⁺ puis sur IR^-
3) Dresser le tableau de variayion de f
4) Déduire un extremum de f

Correction

1) f est un polynôme donc D=IR
donc pour tout x∈IR on a (-x)∈IR.

Soit x∈IR. f(-x)=-2(-x)²+3=-2x²+3=f(x)
alors f est une fonction paire.
2) Soient x;y∈IR⁺ tel que x<y
donc x²<y² signifie -2x²>-2y²
signifie -2x²+3>-2y²+3 signifie f(x)>f(y)
et donc f est strictement décroissante sur IR⁺.
Soient x;y ∈IR^- tel que x<y
donc x²>y² signifie -2x²<-2y²
signifie -2x²+3<-2y²+3 signifie f(x)<f(y)
et donc f est strictement croissante sur IR^-.

Notons qu'on peut utiliser la propriété de la monotonie et la parité
Puisque f est strictement décroissante sur IR⁺ et paire alors elle est strictement croissante sur IR^-.
3) Tableau de variation de f

x		-∞		0		+∞
f			↗	0	↘

4) On a f strictement croissante sur ]-∞;0] et strictement décroissante sur [0;+∞[
de plus on a f(0)=3 donc 3 est une valeur maximale de f sur IR (c'est bien un extremum)

Exercice 3 tp

Soit f une fonction numétique d'une variable réel x définie par
f(x)=x²+3
Montrer que 3 est une valeur minimale de f.

Correction

Pour tout x∈IR on a x²≥0 donc x²+3≥3
ainsi pour tout x∈IR on a f(x)≥3
Cette inégalité est insuffisante de dire que 3 est une valeur minimale
Il reste à savoir si 3 est une image d'un nombre par f

En d'autre terme il reste à savoir s'il existe un élément a dans I=IR tel que f(a)=3
Pour cela il suffit de resoudre
l'équation f(x)=3 dans I
f(x)=3 signifie x²+3=3
signifie x²=0 signifie x=0
donc 3=f(0) ainsi 3 est une valeur minimale de f.