Exercice 1 tp

Soit f une fonction numétique d'une variable réel x définie par
f(x)=-x²+1. Montrer que 3 est une valeur maximale de f.

Correction

Soit x∈IR on a-x²≤0 donc -x²+1≤1
ainsi pour tout x∈IR on a f(x)≤1
il reste à savoir s'il existe un élément a dans IR
tel que f(a)=1 ? Pour cela il suffit de résoudre l'équation f(x)=1 dans IR
f(x)=1 signifie -x²+1=1 signifie -x²=0 signifie x=0 donc 1=f(0) ainsi 1 est une valeur maximale de f.

Exercice 2 tp

Soit f une fonction numétique d'une variable réel x définie par
f(x)= x²+4x+5 Montrer que 3 est un extremum de f

Correction

Rappel On dit que b est un extremum de f s'il est une valeur minimale ou valeur maximale
f est un polynôme donc D=IR
Soit x∈IR
f(x)-3=2x²+4x+5-3
=2x²+4x+2=2(x²+2x+1)
= 2(x + 1)².

Le nombre 2(x+1)² est positif donc
Pour tout x∈IR on a f(x)≥3
il reste à savoir s'il existe un élément a dans IR
tel que f(a)=3 ?
f(a)=3 signifie f(a)-3=0
signifie 2(a+1)²=0
signifie a=-1
donc 3=f(-1) est une valeur minimale de f (c'est bien un extremum).

Exercice 3 tp

Soit f une fonction numétique d'une variable réel x définie par

f(x) =	x
	x + 2

1) Déterminer D le domaine de définition de f
2) Montrer que f est strictement croissante sur ]-∞ ; -2[
et strictement croissante sur ]-2 ; +∞[ et dresser son tableau de variations

Correction

1) f est une fonction rationnelle, elle est définie si son dénominateur est non nul
x + 2 ≠ 0 signifie x ≠ -2
donc D = IR\{-2} = ]-∞ ; -2[ ∪ ]-2 ; +∞[
2) On montre que f est strictement croissante sur ]-∞ ; -2[
Soient x;y∈]-∞ ; -2[ tel que x < y
on montre que f(x) < f(y)
pour cela on étudie le signe de f(x) - f(y)

f(x) - f(y) =	x	-	y
	x + 2		y + 2

=	x(y + 2) - y(x + 2)	=	2(x - y)
	(x + 2)(y + 2)		(x + 2)(y + 2)

On a x < y ou encore x - y < 0
donc 2(x - y) < 0
et on a x;y∈]-∞ ; -2[
ou encore (x < -2) et (y < -2)
ou encore (x + 2 < 0) et (y + 2 < 0)
donc (x + 2)(y + 2) > 0

{	2(x - y)	< 0
	(x + 2)(y + 2)	> 0

Ainsi f(x) - f(y) < 0 ou encore f(x) < f(y)
alors f est strictement croissante
sur l'intervalle ]-∞ ; -2[

Soient x;y∈]-2 ; +∞[ tel que x < y
on montre donc f(x) < f(y)
On a x < y ou encore x - y < 0
donc 2(x - y) < 0
et on a x;y∈]-2 ; +∞[
ou encore (x > -2) et (y > -2)
ou encore (x + 2 > 0) et (y + 2 > 0)
donc (x + 2)(y + 2) > 0

Ainsi f(x) - f(y) < 0
ou encore f(x) < f(y)
alors f est strictement croissante
sur ]-2 ; +∞[

x		-∞		-2		+∞
f			↗		↗