3.2 Fonction croissante et fonction décroissante

3.2.1 Fonction croissante

Définitions Soient f une fonction numérique et I un intervalle inclu dans D_f.
1) f est une fonction croissante sur I si et seulement si pour tous x et y de I tels que x<y on a f(x)≤f(y).
2) f est strictement croissante sur I
si x<y alors f(x)<f(y).

Exemple
Soit f une fonction numérique définie par
f(x)=2x+4 montrons que f est strictement croissante sur IR

Soient x et y deux éléments de IR
x<y montrons que f(x)<f(y)
on a x<y signifie que 2x<2y
signifie que 2x+4<2y+4
donc f(x)<f(y) alors f est strictement croissante sur IR.

On représente les variations de f dans un tableau appelé Tableau de variations de f défini comme suit

3.2.2 Fonction décroissante

Définitions
Soient f une fonction numérique et I un intervalle (I⊂D).
1) On dit que f est décroissante sur I si pour tous x et y de I tels que x<y on a f(x)≥f(y).
2) f est strictement décroissante sur I
si x<y alors f(x)>f(y).

Exemple
Soit f une fonction numérique définie par f(x)=-3x+1. Montrer que f est strictement décroissante sur IR.

Correction
Soient x et y deux éléments de IR.
x<y montrons que f(x)>f(y)
x<y signifie que -3x >-3y car (-3 est négatif)
signifie que -3x+1>-3y+1
donc f(x)>f(y) et donc f est strictement décroissante sur IR.

tableau de variations de f

3.2.3 Fonction constante

Définition 1
f est constante sur un intervalle I
si pour tous x et y de I on a f(x)=f(y).

Définition 2
Une fonction constante sur un intervalle I⊂D_f s'écrit sous la forme f(x)=k tel que k∈IR et x la variable réel x dans I.

Exemple
Soit f une fonction de la variable réel x définie par f(x)=7.
f est une fonction constante sur IR.

3.2.4 Fonction monotone

Définition
Toute fonction croissante sur intervalle I ou décroissante sur I est appelée fonction monotone sur I.

Exemple 1
Soit f une fonction définie par f(x)=x³.
Etudier la monotonie de f sur IR.

Correction
f est un polynôme donc D=IR.
Soient x; y∈IR tels que x<y.
x<y signifie x³<y³ car l'exposent 3 est impair et donc l'inégalité ne change pas.
donc f(x)<f(y)
ainsi f est strictement croissante sur IR et par conséquent f est strictement monotone sur IR.