3.2.5 Propriétés

Soit f une fonction numérique de domaine de définiton D centré en 0 (D=I∪J).
1) f est paire: Si f est décroissante sur I alors elle est décroissante sur J.
Si f est décroissante sur I alors elle est croissante sur J.
2) f est impaire: Si f est croissante sur I alors elle est aussi croissante sur J.
Si f est décroissante sur I alors elle est aussi décroissante sur J.

Exercice 1 tp

1) Completer le tableau de variations de f sachant que f est paire.

2) On suppose que f est impaire tracer le tableau de variations de f sur I=[-3;3].

Correction

1) (a) f est strictement décroissante
sur [1;3] et f est paire donc f est strictement
croissante sur [-3;-1].

(b) f est strictement décroissante
sur [-1;0] et f est paire donc f est strictement
croissante sur [0;1].

(c) Tableau de variations
f est paire et f(3)=-5 donc f(-3)=f(3)=-5
et on a f(1)=4 donc f(-1)=f(1)=4.

2) On suppose que f est impaire.
(a) f est strictement décroissante
sur [1;3] donc f est également strictement
décroissante sur [-3;-1].
(b) f est strictement décroissante
sur [-1;0] donc f est également strictement
décroissante sur [0;1].

(c) Tableau de variations
f est impaire et f(3)=-5
donc f(-3)=-f(3)=5.

Exercice 2 tp

Soit f une fonction définie par
f(x)= 2x²+1. Etudier la monotonie de f sur IR⁺
puis sur IR^- et tracer son tableau de variations.

Correction

f est un polynôme donc D=IR.
Pour tout x∈IR on a (-x)∈IR
et f(-x)=2(-x)²+1=2x²+1=f(x)
donc f est une fonction paire.

Il suffit donc d'étudier f sur IR⁺.
Soient x;y∈IR⁺ tels que x<y
donc x²<y².
ou encore 2x²<2y²
ou encore 2x²+1<2y²+1
donc f(x)<f(y)
ainsi f est strictement croissante sur IR⁺.

Puisque f est une fonction paire alors elle est strictement décroissante sur IR^-.
Tableau de variations