4- Maximum et minimum d’une fonction numérique

4.1 Minimum d’une fonction numérique

4.1.1 Définition

Soit f une fonction numérique définie sur un intervalle I (I⊂D).
La plus petite valeur parmi les images des nombres de I par f est appelée minimum de f sur I.

En d'autre terme
m est une valeur minimale de f sur I s'il existe un élément a dans I
tel que pour tout (x∈I): f(x)≥m=f(a).

4.1.2 Exemple

Soit f une fonction définie par
f(x)=x²+1.
Montrer que 1 est un minimum de f.

Correction
On a pour tout (x∈IR): x²≥0
donc x²+1≥1
ainsi pour tout (x∈IR): f(x)≥1.

Existe t-il un élément a dans I=IR tel que f(a)=1 ?
il suffit donc de résoudre l'équation f(x)=1 dans I
f(x)=1 signifie que x²+1=1
signifie que x²=0
signifie que x=0
et donc 1=f(0) est un minimum de f (atteint en 0).

4.2 Maximum d’une fonction numérique

4.2.1 Définition

Soit f une fonction numérique définie sur un intervalle I inclu dans D.
La plus grande valeur parmi les images des nombres de I par f est appelée maximum de f sur I.

En d'autre terme
M est une valeur maximale de f sur I s'il existe un élément a dans I
tel que pour tout (x∈I): f(x)≤M=f(a).

4.2.2 Exemple

Soit f une fonction définie par
f(x)=-x²+3.
Montrer que 3 est un maximum de f.

Correction
On a pour tout (x∈IR):-x²≤0
donc -x²+3≤3
ainsi pour tout (x∈IR): f(x)≤3.

Existe t-il un élément a dans I=IR
tel que f(a)=3 ?
il suffit donc de résoudre l'équation
f(x)=3 dans I
f(x)=3 signifie que -x²+3=3
signifie -x²=0 signifie que x=0
ainsi 3=f(0) est un maximum de f (atteint en 0).