4) Fonction rationnelle
Soient p(x) et q(x) deux polynômes.
La fonction numérique f définie par

f(x) =	p(x)
	q(x)

est appelée fonction rationnelle.

Propriété Une fonction rationnelle est définie si son dénominateur est non nul
(c'est à dire si q(x)≠0).

Exemple 1
Soit f une fonction de la variable x définie par

f(x) =	1
	x-3

f est une fonction rationnelle donc elle est définie si (x-3≠0) ou encore si x≠3
donc le seul élément qui n'admet pas d'image par f est 3.
ainsi D=IR\{3}
ou encore D=]-∞;3[∪]3;+∞[.

Exemple 2
Soit f une fonction de la variable x définie par

f(x) =	1
	x²-4

f est une fonction rationnelle donc elle est définie si x²-4≠0 ou encore si x²≠4.
. ou encore si (x≠√4 et x≠-√4).
ainsi les deux éléments qui n'admettent pas d'image par f sont -2 et 2.
et par conséquent D=IR\{-2;2}.

Nous écrivons D autrement
D=]-∞;-2[∪]-2;2[∪]2;+∞[.

Exercice 1 tp

Soit f une fonction numérique définie par

f(x) =	x
	x-2

Déterminer D l'ensemble de définition de f.

Correction

f est une fonction rationnelle donc elle est définie si son dénominateur est non nul.

x-2≠0 signifie x≠2
donc D=IR\{2}=]-∞;2[∪]2;+∞[.

Exercice 2 tp

Soit f une fonction numérique définie par

f(x) =	1
	(x+1)(x-3)

Déterminer D l'ensemble de définition de f.

Correction

f est une fonction rationnelle donc f est définie si son dénominateur est non nul.
c'est à dire si (x+1)(x-3)≠0.
Cela signifie que l'ensemble de définition est égal à l'ensemble IR à l'exclusion des solutions de l'équation (x+1)(x-3)=0.
On résout donc l'équation (x+1)(x-3)=0.

(x+1)(x-3)=0 signifie (x+1=0 ou x-3=0)
signifie (x=-1 ou x=3)
ainsi D=IR \{-1;3}.
ou encore D=]-∞;-1[∪]-1;3[∪]3;+∞[.

Exercice 3 tp

Soit f une fonction numérique définie par

f(x) =	x+5
	x²-25

Déterminer D l'ensemble de définition de f.

Correction

f est une fonction rationnelle
donc f est définie si x²-25≠0.
x²-25=0 signifie (x-5)(x+5)=0
signifie (x-5=0 ou x+5=0)
signifie (x=5 ou x=-5)
ainsi D=IR\{-5;5}=]-∞;-5[∪]-5;5[∪]5;+∞[.