4- الأعداد الأولية وتفكيك عدد طبيعي

4.1 الأعداد الأولية

4.1.1 تعريف

العدد الأولي هو عدد صحيح أكبر من 1 ويقبل بالضبط قاسمين مختلفين 1 ونفسه.

4.1.2 أمثلة

1) 2 عدد أولي لانه يقبل بالضبط قاسمين مختلفين 1 ونفسه.

2) 3 عدد اولي.
3) 5 عدد أولي ..
4) الأعداد الأولية اصغر من 100

2	3	5	7	11	13	17	19
23	29	31	37	41	43	47	53
59	61	67	71	73	79	83	97

ملاحظة العدد 1 ليس عددا أوليا لأنه يقبل فقط قاسم واحد هو نفسه عكس ما يشترط التعريف.

4.2 تفكيك عدد طبيعي الى جداء عوامل أولية

4.2.1 أمثلة

1) لدينا 108=1×108=2×54=2×2×27
=2²×27=2²×3×9=2²×3×3×3
اذن 108 =2²×3³.
2) 2100=1×2100=2×1050
=2×2×525=2×2×3×175
=2×2×3×5×35=2×2×3×5×5×7
=2²×3×5²×7.

اذن 2100=2²×3×5²×7
للتذكير 2 و 3 و 5 و 7 أعداد أولية.
يمكن استعمال التقنية التالية لتفكيك عدد طبيعي.

108		2			2100		2
54		2			1050		2
27		3			525		3
7		7			175		5
1					35		5
					7		7
					1

4.2.2 خاصية 1

1) كل عدد طبيعي أكبر قطعا من 2 وغير أولي يكتب على شكل جداء عوامل أولية.
2) ppmc(a;b) هو جذاء عوامل اولية مشتركة او غير مشتركة بين العددين مرفوعة الى اكبر أس.
3) pgdc(a;b) هو جذاء عوامل اولية مشتركة بين العددين مرفوعة الى اصغر أس.

تمرين 1 tp

1) حدد pgdc(270;700).
2) حدد ppmc(270;700).

تصحيح

270		2			700		2
135		3			350		2
45		3			175		5
15		3			35		5
5		5			7		7
1					1

270=2×3³×5.
700=2²×5²×7.
وبتطبيق الخاصية السابقة نحصل على
pgdc(270;700)=2×5=10.
ppmc(270;700)=2²×3³×5²×7=18900.

تمرين 2 tp

1) احسب

A =	1	-	1
	540		1400

2) بسط

B =	√(2) +2√(3)	+	3√(2)-√(3)
	540		1400

4.2.3 خاصية 5

(معيار اراتوستينس)
ليكن n∈IN*.
1) اذا كان n ليس عددا أوليا فان قواسمه الأولية أصغر أو تساوي √n.
2) اذا لم يوجد عدد أولي أقل من أو يساوي √n فان n عدد أولي.