Exercice 1 tp

1) Déterminer pgdc(540;1400)
et ppmc(540 ; 1400).
2) Calculer

A =	1	-	1
	540		1400

3) Simplifier

B =	√(2) +2√(3)	+	3√(2)-√(3)
	540		1400

Correction

1) D'abord on décompose 540 et 1400

540		2				1400		2
270		2				700		2
135		3				350		2
45		3				175		5
15		3				35		5
5		5				7		7
1						1

540= 2²×3³×5
1400= 2³×5²×7.

Puis on utilise la propriété
pgdc(540;1400)= 2²×5= 20
ppmc(540;1400)= 2³×3³×5²×7 = 37800.
2) d'après la question précédente
ppmc(540;1400)= 2³×3³×5²×7 = 37800
donc le dénominateur réduit est 37800.

A=	1	-	1
	540		1400
=	1	-	1
	2²×3³×5		2³×5²×7
=	2.5.7	-	3³
	2³×3³×5²×7		2³×3³×5²×7

=	70	-	27
	2³×3³×5²×7		2³×3³×5²×7
A=	70-27	A=	43
	37800		37800

3) De la même manière le dénominateur est 37800.

B=	√(2) +2√(3)	+	3√(2)-√(3)
	540		1400
=	70(√(2) +2√(3))	+	27(3√(2)-√(3))
	37800		37800

Donc

B =	70(√(2) +2√(3))+27(3√(2)-√(3))
	37800

ainsi

B =	151√(2) + 113√(3)
	37800

Exercice 2 tp

n; m∈IN و pgcd(n;m)=28
1) déterminer tous les diviseurs communs de n et m
2) quels sont les facteurs premiers communs de n et m
3) si nm=3920 déterminer ppcm(n;m) puis n et m

Correction

1) on a 28=2.14=4.7
donc les diviseurs communs de n et m sont 1 ; 2 ; 4 ; 7 ; 14 et 28
2) les facteurs premiers de n et m sont 2 et 7

3) en utilisant la propriété suivante n.m=pgcd(n;m).ppcm(n;m) on obtient
3920 = 28.ppcm(n;m)
ppcm(n;m) = 3920÷28 = 140
et puisque pgcd(n;m) divise n alors il existe un entier naturel k tel que n=28k
et on a pgcd(n;m) divise m alors il existe un entier naturel t tel que m=28t donc nm=3920 signifie que
28²kt=3920
ou encore kt=3920÷784 = 5, (5 est un nombre premier)

Et cela signifie que k=5 et t=1
ou k=1 et t=5
ainsi (n=140 et m=28)
ou (n=28 et m=140)

Exercice 3 tp

n; m∈IN
Déterminer n et m tels que nm=2880 et pgcd(n;m)=24