Exercice 1 tp

Soient n et m deux entiers naturels
1) Déterminer les diviseurs de 15 et déduire les valeurs de n et m tel que (n+3)(m+2)=15.
2) Déterminer n et m tels que nm+n+m=14.

Correction

1) Les diviseurs de 15 sont 1 ; 3 ; 5 et 15.
(n+3)(m+2)=15 signifie que n+3 et m+2 divisent 15 et leur produit est égal à 15
donc (n+3=1 et m+2=15) ou (n+3=15 et m+2=1) ou (n+3=3 et m+2=5) ou (m+3=5 et m+2=3).

Ou encore (n=-2 et m=13) impossible ou (n=12 et m=-1) impossible ou (n=0 ; m=3) ou (n=2 ; m=1)
alors (n=0 et m=3) ou (n=2 et m=1).
2) nm+n+m=14 signifie nm+m+n+1=14+1
signifie m(n+1)+(n+1)=15
signifie (n+1)(m+1)=15
donc (n+1=1 et m+1=15) ou (n+1=15 et m+1=1) ou (n+1=3 et m+1=5) ou (n+1=5 et m+1=3)
ainsi (n=0 et m=14) ou (n=14 et m=0) ou (n=2 et m=4) ou (n=4 et m=2).

Exercice 2 tp

Soient a; b∈IN* tel que a>b.
1) Montrer que si a²-b²=5 alors a+b et a-b divisent 5
2) Montrer que si ab-a-2b=5 alors a-2 et b-1 divisent 7

Correction

1) a; b∈IN* et a>b
on suppose que a²-b²=5.
a²-b²=5 signifie que (a-b)(a+b)=5
Puisque a+b∈IN et a>b alors a-b∈IN
donc a-b et a+b divisent 5.

2) a; b∈IN* et a>b
On suppose que ab-a-2b=5
ab-a-2b=5 signifie que ab-2b-a=5
signifie b(a-2)-a+2=5+2
signifie b(a-2)-(a-2)=7
signifie (a-2)(b-1)=7
et puisque b∈IN* ou encore b≥1
et a>b alors a≥2
donc (a-2)∈IN et (b-1)∈IN
ainsi (a-2)(b-1)=7 et cela signifie que (a-2) et (b-1) divisent 7.

Exercice 3 tp

Soit n∈IN.
1) Etudier la parité de n(n+1) et déduire la parité de n²+n+1.
2) On suppose que n est impaire.
Montrer que n²-1 est un multiple de 8.
3) Soient a et b deux entiers naturels impairs.
Montrer que a²+b²-2 est un multiple de 8.

Correction

1) On étudie la parité de n(n+1) c'est à dire on étudie la parité du produit de deux entiers naturels succéssifs.

n∈IN signifie que n est pair ou impair.
(i1) Si n est pair alors il s'écrit sous la forme n=2k tel qur k∈IN
donc n(n+1)=2k(2k+1) et cela signifie que 2 divise n(n+1) ainsi n(n+1) est pair.
(i2) Si n est impair alors il s'écrit sous la forme n=2k+1 tel que k∈IN
donc n(n+1)=(2k+1)(2k+1+1)
=2(k+1)(2k+1)
et cela signifie que 2 divise n(n+1) ainsi n(n+1) est pair.

Conclusion: pour tout entier naturel n le nombre n(n+1) est pair.
n²+n+3=n(n+1)+1 et puisque n(n+1) est pair et l'entier 1 est impair alors n(n+1)+1 est impair. 2) On montre que 8 divise n²-1 autrement dit n²-1 est un multiple de 8.
n²-1=(n+1)(n-1) et n=2k+1 tel que k∈IN
donc n²-1=(2k+1+1)(2k+1-1)
=(2k+2)(2k)
=2(k+1)(2k)
=4k(k+1).

D'après la question précédente, k(k+1) est pair alors 4k(k+1) est divisible par 8.
3) a²+b²-2=(a²-1)+(b²-1) et puisque 8 divise a²-1 alors il existe un entier naturel non nul, k tel que a²-1=8k
et également 8 divise b²-1 alors il existe un entier naturel non nul, t tel que b²-1=8t
donc a²+b²-2= 8k+8t=8(k+t)
et puisque k+t∈IN alors 8 divise a²+b²-2.