تمرين 1 tp

n و m عددان طبيعيان
1) حدد جميع قواسم 15 واستنتج جميع قيم كل من n و m
حيث (n+3)(m+2)=15.
2) حدد جميع قيم كل من n و m بحيث nm+n+m=14.

تصحيح

1) لدينا 1.15=3.5 اذن قواسم 15 هي 1 و 3 و 5 و 15

(n+3)(m+2)=15 يعني ان n+3 و m+2 يقسمان العدد 15 وجذاؤهما يساوي 15
اذن (n+3=1 و m+2=15) او (n+3=15 و m+2=1) او (n+3=3 و m+2=5) او (m+3=5 و m+2=3)

ومنه فان
( n=-2 و m=13) لا يمكن او (n=12 و m=-1) لا يمكن
او (n=0 و m=3) او (n=2 و m=1)
وبالتالي (n=0 و m=3) او (n=2 و m=1)

2) لدينا nm+n+m=14 اذن nm+m+n+1=14+1
اي m(n+1)+(n+1)=15
اي (n+1)(m+1)=15
وبنفس الطريقة السابقة نحصل على
(n+1=1 و m+1=15) او (n+1=15 و m+1=1) او (n+1=3 و m+1=5) او (n+1=5 و m+1=3) ومنه فان
(n=0 و m=14) او (n=14 و m=0) او (n=2 و m=4) او (n=4 و m=2)

تمرين 2 tp

a; b∈IN* , a>b
1) بين اذا كان a²-b²=5 فان a+b و a-b يقسمان 5
2) بين اذا كان ab-a-2b=5 فان a-2 و b-1 يقسمان 7

تصحيح

1) a; b∈IN* , a>b
نفترض ان a²-b²=5
لدينا a²-b²=5 يعني (a-b)(a+b)=5
لدينا a+b∈IN وبما ان a > b فان a-b∈IN
اذن a-b و a+b يقسمان 5

2) aو b∈IN* حيث a>b
نفترض ان ab-a-2b=5
لدينا ab-a-2b=5 يعني ab-2b-a=5
اي b(a-2)-a+2=5+2
اي b(a-2)-(a-2)=7
اذن (a-2)(b-1)=7
وبما ان b∈IN* اي b≥1
ولدينا a > b فان a≥2
اذن (a-2)∈IN و (b-1)∈IN
ومنه فان (a-2)(b-1)=7 يعني ان (a-2) و (b-1) يقسمان 7

تمرين 3 tp

ليكن n∈IN
1) ادرس زوجية n(n+1) واستنتج زوجية n²+n+1
2) نفترض ان n عدد فردي
بين ان n²-1 مضاعف للعدد 8
3) نعتبر , a و b عددين طبيعيين فرديين بين ان a²+b²-2 مضاعف للعدد 8

تصحيح

1) ندرس زوجية العدد n(n+1) يعني دراسة زوجية جداء عددين طبيعيين متتابعين
n∈IN يعني اما n زوجي واما n فردي

(i1) اذا كان n زوجي فانه يكتب على الشكل n=2k حيث k∈IN
اذن n(n+1)=2k(2k+1) وهذا يعني ان 2 يقسم n(n+1) ومنه فان n(n+1) عدد زوجي
(i2) اذا كان n فردي فانه يكتب على الشكل n=2k+1 حيث k∈IN
اذن n(n+1)=(2k+1)(2k+1+1)
=2(k+1)(2k+1)
وهذا يعني ان 2 يقسم n(n+1) ومنه فان n(n+1) عدد زوجي
خلاصة لكل عدد طبيعي n العدد n(n+1) زوجي
لدينا n²+n+3=n(n+1)+1
بما ان n(n+1) زوجي والعدد 1 فردي فان n(n+1)+1 فردي لان مجموع عدد زوجي وعدد فردي هو عدد فردي.

2) نبين ان n²-1 مضاعف للعدد 8 يعني نبين ان 8 يقسم n²-1
لدينا n²-1=(n+1)(n-1) و n=2k+1 حيث k∈IN
اذن n²-1=(2k+1+1)(2k+1-1)
=(2k+2)(2k)
=2(k+1)(2k)
=4k(k+1)
حسب السؤال الاول k(k+1) عدد زوجي ومنه فان 4k(k+1) يقبل القسمة على 8.

3) لدينا a²+b²-2=(a²-1)+(b²-1) وبما ان 8 يقسم a²-1 فانه يوجد عدد طبيعي k بحيث a²-1=8k
وايضا 8 يقسم b²-1 فانه يوجد عدد طبيعي t بحيث b²-1=8t
اذن a²+b²-2= 8k+8t=8(k+t)
وبما ان k+t∈IN فان 8 يقسم a²+b²-2