تمرين 1 tp

1) حدد عددين طبيعيين n و m يحققان المعادلة
(E): 8n+5m=100
2) بين ان الازواج
(5n+5;12-8n) حلولا للمعادلة (E)
3) اشترى علي علبة حلوة وعلبة شكلاطة بثمن مجموعه 100 درهم حيث ثمن الحلوة الواحدة ب خمسة دراهم وثمن شكلاطة ب 8 دراهم
ما هو عدد كل من الحلوة والشكلاطة?

تصحيح

1) لاحظ ان 8.10+5.4=100 اذن n=10 و m=4.

2) نبين ان الازواج (5n+5;12-8n) حلولا للمعادلة (E)
8(5n+5)+5(12-8n)=40n+40+60-40n=100
اذن الازواج (5n+5;12-8n) حلولا للمعادلة (E)

3) المسألة: نضع y عدد الحلوة و x عدد الشكلاطة
لدينا اذن 8x+5y=100
وحسب السؤال الثاني فان الازواج (5n+5;12-8n) حلولا لهذه المعادلة
n∈IN
اذا كان n=0 فان x=5 و y=12
واذا كان n=1 فان x=10 و y=4
n > 1 لا يمكن لان 12-8n∈IN.

تمرين 2 tp

ليكن n∈IN
1) بين ان n²-n+2 و n²+n+2 عددان زوجيان.
2) استنتج ان n⁴+3n²+4 قابل للقسمة على 4

تصحيح

1) نبين ان A=n²-n+2 و B=n²+n+2 عددان زوجيان
ليكن n∈IN اذن n اما زوجي واما فردي

(a) اذا كان n زوجي فانه يكتب على الشكل n=2k حيث k∈IN ومنه فان
A=(2k)²-(2k)+2=2(2k²-k+1)=2t حيث t∈IN
لان لكل k∈IN لدينا 2k²-k+1∈IN اذن العدد A زوجي
B=(2k)²+2k+2=2(2k²+k+1)=2t حيث t∈IN
لان لكل k∈IN لدينا 2k²+k+1∈IN
اذن العدد B زوجي.
(b) اذا كان n فردي فانه يكتب على الشكل n=2k+1 حيث k∈IN
ومنه فان A=(2k+1)²-(2k+1)+2=4k²+4k+1-2k-1+2

اذن A=2(2k²+k+1)=2t حيث t∈IN
لان لكل k∈IN لدينا 2k²+k+1∈IN اذن العدد A زوجي.
B=(2k+1)²+(2k+1)+2=4k²+4k+1+2k+1+2
اذن B=2(2k²+3k+2)=2t حيث t∈IN
لان لكل k∈IN لدينا 2k²+3k+2∈IN اذن العدد B زوجي.
خلاصة لكل n∈IN العددان A و B زوجيان

2) استنتاج
n⁴+3n²+4 = n⁴+4n²-n²+4
=n⁴+2.2n²+2² - n²
=(n²+2)²-n²
=(n²+2-n)(n²+2+n)=(n²-n+2)(n²+n+2)
اذن n⁴+3n²+4 = A × B
وبما ان العددين A و B زوجيان فنهما يكتبان على الشكل A=2k و B=2t حيث k;t∈IN
ومنه فان n⁴+3n²+4=4kt حيث kt∈IN
وهذا يعني ان 4 يقسم n⁴+3n²+4.

تمرين 3 tp

ليكن n∈IN حيث n>3
حدد قيم n حيث n-3|n+14.

تصحيح

ليكن n∈IN حيث n>3.
n-3|n+14 يعني يوجد عدد صحيح طبيعي غير منعدم k بحيث n+14=k(n-3)
اي n-3+17=k(n-3)
اي (n-3)(k-1)=17

بما ان k-1∈IN فان n-3 | 17
العدد 17 اولي له قاسمان 1 ونفسه اذن
n-3= 1 او n-3=17
n=4 > 3 او n=20 > 3
وبالتالي قيم n هي 4 او 20.