Exercice 1 tp

1) Déterminer deux entiers naturels n et m qui vérifient l'équation suivante
(E): 8n+5m=100.
2) Montrer que les couples
(5n+5;12-8n) sont des solutions de (E).
3) Ali a acheté une boite de bonbons et une boite de chocolat au prix de 100 dirhams, sachant que le prix d'un bobon est de cinq dirhams et le prix de chocolat esr de huit dirhams
combien de bonbons et de chocolats ?

Correction

1) Remarquons que 8.10+5.4=100
donc n=10 et m=4.
2) on montre que (5n+5;12-8n) sont des solutions de (E)
8(5n+5)+5(12-8n)=40n+40+60-40n=100
donc les couples (5n+5;12-8n) sont des solutions de (E).
3) Problème
on désigne par x au nombre de chocolats et par y au nombre de bonbons.

On a donc 8x+5y=100 et d'après la question précédente les couples (5n+5;12-8n) tel que n∈IN sont des solutions de (E).
Si n=0 alors x=5 et y=12
et si n=1 alors x=10 et y=4
Le cas n>1 est impossible car 12-8n∈IN.

Exercice 2 tp

Soient A=n²-n+2 et B=n²+n+2 tel que n∈IN.
1) Montrer que A et B sont deux entiers naturels pairs.
2) Déduire que n⁴+3n²+4 est divisible par 4.

Correction

1) Soit n∈IN donc n est pair ou impair.
(a) Si n est pair alors il s'écrit sous la forme n=2k tel que k∈IN ainsi
A=(2k)²-(2k)+2=2(2k²-k+1)=2t
tel que t∈IN.

(tout k∈IN on a 2k²-k+1∈IN)
alors A est pair.
B=(2k)²+2k+2=2(2k²+k+1)=2t
tel que t∈IN (tout k∈IN on a 2k²+k+1∈IN)
alors B est pair.
(b) Si n est impair alors il s'écrit sous la forme n=2k+1 tel que k∈IN ainsi
A=(2k+1)²-(2k+1)+2
=4k²+4k+1-2k-1+2=2(2k²+k+1)=2t
tel que t∈IN (tout k∈IN on a 2k²+k+1∈IN)
alors A est pair.

B=(2k+1)²+(2k+1)+2
=4k²+4k+1+2k+1+2=2(2k²+3k+2)=2t
tel que t∈IN (tout k∈IN on a 2k²+3k+2∈IN)
alors B est pair.
résultat Tout n∈IN on a A et B sont pairs.
Conclusion
n⁴+3n²+4=n⁴+4n²-n²+4
=n⁴+2.2n²+2² - n²
=(n²+2)²-n²
=(n²+2-n)(n²+2+n)=(n²-n+2)(n²+n+2)

Donc n⁴+3n²+4=A×B.
Puisque A et B sont pairs alors ils s'écrivent sous la forme A=2k et B=2t avec k;t∈IN ainsi
n⁴+3n²+4=4kt avec kt∈IN
et cela signifie que 4 divise n⁴+3n²+4.

Exercice 3 tp

Soit n∈IN tel que n>3.
Déterminer les valeurs de n de la façon que
n-3|n+14.

Correction

Soit n∈IN tel que n>3.
n-3|n+14 signifie qu'il existe un entier naturel non nul k tel que n+14=k(n-3)
signifie n-3+17=k(n-3)
signifie (n-3)(k-1)=17
et puisque k-1∈IN alors n-3|17.
17 est premier donc admet deux diviseurs 1 et lui même
et donc n-3=1 ou n-3=17
n=4 > 3 ou n=20 > 3
alors les valeurs de n sont 4 et 20.