3- Positions relatives de deux droites

3.1 Intersection de deux droites

3.1.1 Propriété

Le plan ℙ est rapporté à un repère orthonormé (O;i^→;j^→). On considère dans ℙ deux droites
(D): ax+by+c=0 et (D'):a'x+b'y+c'=0.
Si (ab'-ba'≠0) alors (D) et (D') se coupent en un seul point E.

Le couple des coordonnées de E

3.1.2 Exemple

Le plan ℙ est rapporté à un repère orthonormé (O;i^→;j^→). On considère dans ℙ deux droites
(D): x-y+2=0 et (D'): x+y-4=0.
1) Montrer que (D) et (D') sont sécantes.
2) Déterminer le point d'intérsection de (D) et (D').

Correction
1) u^→(1;1) est un vecteur directeur de la droite (D) et v(-1;1) est un vecteur directeur de (D').

det(u^→;v^→)=1.1-1.(-1)=2≠0 donc (D) et (D') se coupent en un seul point E.
On peut faire autrement
supposons que u^→ et v^→ sont colinéaires
donc il existe k∈IR tel que v^→=ku^→
ou encore -1=1.k et 1=1.k ou encore k=-1 et k=1 et ce n'est pas possible.

k n'existe pas donc u^→ et v^→ ne sont pas colinéaires.

2) Déterminons E en résolvant le système suivant

On a x-y+2+(x+y-4)=0 donc 2x-2=0 ainsi x=1
on remplace x=1 dans l'équation
x+y-4=0 donc 1+y-4=0 ou encore y=3
ainsi (D)∩(D')={E(1;3)}.