3.2 Parallélisme et orthogonalité de deux droites

3.2.1 Définition

Le plan ℙ est rapporté à un repère orthonormé (O;i^→;j^→). On considère dans ℙ une droite (D) définie par un point et son coefficient directeur m.
L'équation réduite de la droite (D) s'écrit sous la forme
y=mx+p et p est l'ordonnée à l'origine.

3.2.2 Parallélisme

Le plan ℙ est rapporté à un repère orthonormé (O;i^→;j^→). On considère dans ℙ deux droites (D) et (D').
(D) et (D') sont paralléles et on écrit (D)||(D')
si elles ont le même coefficient directeur.

Exemple
Soient (D): y=2x+1 et (D'): 2x-y-3=0 deux droits. Montrons que (D)||(D').

x-y+3=0 équivaut à y=2x-3 donc 2 est le coefficient directeur de (D') et également 2 est le coefficient directeur de (D)
ainsi (D)||(D').

3.2.3 Orthogonalité

Le plan ℙ est rapporté à un repère orthonormé (O;i^→;j^→). On considère dans ℙ deux droites (D) et (D').
(D) et (D') sont orthogonales et on écrit(D)⊥(D')
si le produit de leurs coefficients directeurs égale à -1.

Exemple
Soient (D): x-y+2=0 et (D'): x+y-4=0 deux droites.
Montrer que (D)⊥(D').

Correction
x-y+2=0 équivaut à y=x+2 donc le coefficient directeur de (D) m=1.
De la même façon on a
x+y-4=0 équivaut à y=-x+4 donc m'=-1 est le coefficient directeur de (D').
Puisque m.m'=-1 alors (D)⊥(D').

Exercice 1 tp

Le plan ℙ est rapporté à un repère orthonormé (O;i^→;j^→). On considère dans ℙ deux droites
(D): y=2x+1 et (D'): x+2y-4=0.
Montrer que (D)⊥(D').

Correction

1) m=2 est le coefficient directeur de (D)
2) (D'): x+2y-4=0 équivaut à

m'=-0,5 est le coefficient directeur de (D')
puisque m.m'=-1 alors (D)⊥(D').