1.4 معادلات ومتراجحات تؤول في حلها الى معادلات ومتراجحات من الرتبة 1 بمجهول واحد

1.4.1 مثال 1

حل في IR المعادلة (x-2)(x+1)=0.

تصحيح
للتذكير a.b=0 يكافئ a=0 أو b=0

(x-2)(x+1)=0 يعني (x-2=0 أو x+1=0)
يعني (x=2 أو x=-1)
اذن S={-1;2}.

1.4.2 مثال 2

1) حل في مجموعة الاعداد الحقيقية المعادلة x²-9=0.
2) ادرس اشارة x²-9.
3) استنتج مجموعة حلول المتراجحة x²-9≥0.

تصحيح
1) x²-9 متطابقة هامة
x²-9=x²-3²=(x-3)(x+3)
اذن x²-9=0 يكافئ (x-3)(x+3)=0
يكافئ (x-3=0 او x+3)=0 يكافئ (x=3 او x=-3)
اذن S₁={-3;3}.

2) اشارة x²-9
لدينا x²-9=(x-3)(x+3), لدراسة اشارة x²-9 يكفي دراسة اشارة كل من x-3 و x+3 ثم نستنتج اشارة x²-9.
(a) اشارة x-3

x		-∞		3		+∞
x-3			-	0	+

(b) اشارة x+3

x		-∞		-3		+∞
x+3			-	0	+

(c) يمكن جمع الجدولين في جدول واحد.

x		-∞		-3		3		+∞
x-3			-		-	0	+
x+3			-	0	+		+
x²-9			+	0	-	0	+

نتيجة
x²-9≥0 اذا كان x∈]-∞;-3]∪[3;+∞[.
x²-9≤0 اذا كان x∈[-3;3]
اذن S₂=]-∞;-3]∪[3;+∞[.

1.4.3 مثال 3

1) حل في IR المعادلة -x²+4x-4=0.
2) حل في IR المتراجحة -x²+4x-4>0.

تصحيح
-x²+4x-4=-(x²-4x+4)
=-(x-2)²
(متطابقة هامة)
لكل x∈IR لدينا (x-2)²≥0.

اذن -(x-2)²≤0
وهذا يعني انه لا يوجد أي عدد حقيقي يحقق المتراجحة
-x²+4x-4> 0
وبالتالي S=∅.

تمرين 1 tp

1) حل في IR المعادلة x²-4x+4=0.
2) حل في IR المتراجحة x²-4x+4>0.
3) استنتج مجموعة حلول المتراجحة x²-4x+4≤0.

تصحيح
1) x²-4x+4=(x-2)²
(متطابقة هامة)
x²-4x+4=0 يكافئ (x-2)²=0 يكافئ x-2=0
يكافئ x=2
اذن S₁={2}.
2) لكل x∈IR لدينا (x-2)²≥0.
يعني x²-4x+4≥0
لكن المتراجحة المطلوبة x²-4x+4>0.

لدينا x²-4x+4=0 اذا كان x=2
اذن لكل x∈IR\{2} لدينا x²-4x+4> 0
وبالتالي S₂=IR\{2}.
3) حسب ما سبق
لكل x∈IR لدينا x²-4x+4≥0 اذن العدد الوحيد الذي يحقق المتراجحة x²-4x+4≤0 هو العدد 2.
ومنه فان S₃={2}.