Mathématiques du secondaire qualifiant

المعادلات والمتراجحات والنظمات (9)

2.2 المعادلة من الدرجة الثانية

2.2.1 تعريف

المعادلة من الدرجة الثانية بمجهول واحد
تكتب على الشكل ax²+bx+c=0
حيث a و b و c أعداد معلومة و a≠0.
العدد Δ=b²-4ac يسمى مميز المعادلة.

مثال 1
2x²-3x+1=0 معادلة من الرتبة 2.

a = 2 b = -3 c = 1

Δ=(-3)²-4.2.1=9-8 اذن Δ=1.

مثال 2
-x²+5x-7=0 معادلة من الرتبة 2.

a = -1 b = 5 c = -7

Δ=5²-4.(-1).(-7)=25-28
اذن مميز المعادلة Δ=-3.

مثال 3
2x²+20x+50=0 معادلة من الرتبة 2

a = -2 b = 20 c = 50

Δ=20²-4.2.50=400-400
اذن مميز المعادلة Δ=0.

2.2.2 تعميل ثلاثية الحدود T(x)=ax²+bx+c وحلول المعادلة T(x)=0

لتكن T(x)=ax²+bx+c ثلاثية الحدود (a≠0) مميزها Δ=b²-4ac.
1) اذا كان Δ=0

T(x) = a(x+ b
2a

ومنه فان المعادلة ax²+bx+c=0 تقبل حلا مزدوجا x1.

x1 = - b
2a

2) اذا كان Δ>0

T(x) = a(x- -b-√(Δ) )(x- -b+√(Δ) )
2a 2a

ومنه فان المعادلة T(x)=0 تقبل حلين مختلفين.

x1 = - b - √(Δ) x2 = - b + √(Δ)
2a 2a

ونعمل ثلاثية الحدود T(x) على الشكل التالي
T(x)=a(x-x1)(x-x2).

3) اذا كان Δ<0 فان T(x) لا تعمل
وبالتالي المعادلة T(x)=0 ليس لها أي حل في IR.

2.2.3 خاصيات

لتكن a و b و c أعداد حقيقية حيث a≠0 و S مجموعة حلول المعادلة
(E): ax²+bx+c=0 و Δ=b²-4ac مميزها.
1) اذا كان Δ=0 المعادلة (E) تقبل حلا مزدوجا.

S = { -b }
2a

2) اذا كان Δ>0 فان المعادلة (E) تقبل حلين مختلفين.

S = { - b - √(Δ) ; - b + √(Δ) }
2a 2a

3) اذا كان Δ<0 فان المعادلة (E) ليس لها حلول في IR
ونكتب S=∅.