Exercice 1

Résoudre dans IR les inéquations suivantes
(i1) (x+1)(x-2)<0.
(i2) (x+3)²≤2.
(i3) x²-4x+4>x²-2x+1.

(i4)	x+3	> 0
	x-1

Exercice 2 tp

Soit p(x)=5x³-2x²-5x+2.
1) Montrer que p(x) est divisible par x-1.
2) Déterminer b et c sachant que
p(x)=(x-1)(5x²+bx+c).
3) Factoriser le trinôme q(x)=5x²+3x-2 puis déduire une factorisation de p(x).
4) Résoudre dans IR l'inéquation p(x)≥0.

Correction

1) p(x) est divisible par x-1 si 1 est sa racine
pour cela on calcule p(1).

p(1)=5.1³-2.1²-5.1+2=5-2-5+2=0
donc 1 est une racine de p(x) ainsi p(x) est divisible par x-1.
2) Puisque p(x) est divisible par x-1 alors il existe un polynôme q(x) de degré 3-1=2
tel que p(x)=(x-1)(5x²+bx+c).
p(x)=5x³+bx²+cx-5x²-bx-c
=5x³+(b-5)x²+(c-b)x-c.
On a p(x)=5x³-2x²-5x+2
donc b-5=-2 ; c-b=-5 et -c=2.
ou encore b=3 ; c=-5+3=-2 et -c=2.

c=-2 est vérifié alors p(x)=(x-1)(5x²+3x-2).
Méthode 2: On peut réaliser la division euclidienne de p(x) par x-1.

5x³	-2x²	-5x	+2	x	-1
-5x³	+5x²			5x²	+3x	-2
+0	3x²	-5x	+2
	-3x²	+3x
	0	-2x	+2
	0	2x	-2
		0	0

q(x)=5x²+3x-2

a=5

b=3

c=-2

Δ=b²-4ac=3²-4.5.(-2)
=9+40=49=121>0
donc q(x) admet deux racines.

x1 =	-b-√Δ		x2 =	-b+√Δ
	2a			2a
=	-3-√48		=	-3+√48
	2.5			2.5

x1 =	-3-7		x2 =	-3+7
	10			10
x1 =	-10		x2 =	4
	10			10
=	-1		=	2
				5

donc q(x)=(x+1)(5x-2).

Puisque p(x)=(x-1)q(x)
alors p(x)=(x-1)(x+1)(5x-2).
4) On résout dans IR l'inéquation p(x)≥0
d'abord on résout l'équation p(x)=0.
p(x)=0 signifie (x-1)(x+1)(5x-2)=0
signife (x=1 ou x=-1 ou x=0,4).

Puis on étudie le signe de p(x).

x	-∞		-1		0,4		1		+∞
x-1		-	|	-	|	-	0	+
q(x)		+	0	-	0	+	|	+
p(x)		-	0	+	0	-	0	+

donc l'ensemble des solutions de l'inéquation
S=[-1;0,4]∪[1;+∞[.