2- Propriétés du parallélisme et de l'intersection

2.1 Droites parallèles

2.1.1 Propriété 1

Soient (D) et (D') deux droites.
(D) et (D') sont parallèles si les deux conditions suivantes sont vérifiées
1) (D) et (D') sont coplanairs.
2) (D) et (D') sont disjointes ou confondues.

2.1.2 Propriété

Soient (D) ; (Δ) et (D₁) trois droites.
Si (D)||(D₁) et (D₁)||(Δ) alors (Δ)||(D).

Exemples Soit ABCDEFGH un parallélépipède rectangle.

1) (AB) et (DC) sont deux droites dans le plan (ABCD).
(AB) et (DC) sont donc coplanaires.
de plus elles sont disjointes car ABCD est un rectangle et donc (AB)||(DC).
2) De la même façon on montre que (BF)||(CG).
3) On a également (AE)||(BF).

4) On a (BC)||((AD) et (AD)||(EH)) donc (BC)||(EH).

2.2 Parallélisme d'un plan et une droite

2.2.1 Définition

Soient P un plan et (D) une droite.
(D)||P si (D)∩P=∅ ou (D)⊂P.

2.2.2 Propriété

Soient P un plan et (D) une droite.
(D)||P si et seulement si (D) est parallèle à une droite (D') inclue dans P.

Remarque Si (D)||(P) et (D')⊂(P) alors (D) et (D') ne sont pas nécessairement parallèles.

Exemples
Soit ABCDEFGH un cube.

1) On considère le plan (ABE)
et la droite (CG). On a (BF)⊂(ABE)
et (CG)||(BF) donc (CG)||(ABE)
Notons que (BE)⊂(ABE) et (CG)||(ABE) mais (CG) et (BF) ne sont pas parallèles.
2) On considère le plan (ABC)
et la droite (FH). On a (BF)||(AE)
et (AE)||(HD) donc (BF)||(HD).
Puisque HD=BF alors BFHD est un rectangle
ainsi (FH)||(BD).
On a donc (BD)⊂(ABC) et (FH)||(BD)
alors (FH)||(ABC).