3.2 Fonction homographique

f: x→	ax+b
	cx+d

3.2.1 Exemple

Soit f une fonction numérique définie par

f(x) =	-x+2
	x

et (C) sa courbe représentative dans un repère orthonormé (O;i^→;j^→). Construire (C).

Correction
f est définie si x≠0
donc D=IR*=]-∞;0[∪]0;+∞[. Soit x∈D

f(x) =	-x	+	2	= -1 +	2
	x		x		x

On pose g(x) =	2
	x

La courbe de g est une hyperbole de centre O(0;0).
f(x)=g(x)+(-1) donc chaque valeur de x on retranche 1 de son image.

(C) est donc une hyperbole de centre W(0;-1).

Graphiquement f est strictement décroissante sur IR^+* et strictement décroissante sur IR^-*.

Les deux droites (D): x=0 et (D'): y=-1 sont les deux asymptotes de la courbe (C).

Tableau de variations

x		-∞		0		+∞
f			↘		↘

3.2.2 Définition et propriétés

La fonction homographique f est une fonction définie par

f(x) =	ax+b
	cx+d

tels que a;b;c et d sont des constantes (c≠0). et (C) sa courbe représentative dans un repère orthonormé (O;i^→;j^→).
1) (C) est une hyberbole de centre W

W(	-d	;	a	)
	c		c

2) (C) admet deux asymptotes

(D): x=	-d	et (D'): y=	a
	c		c

Exemple
Soit f une fonction numérique définie par

f(x) =	-2x+1
	x-1

D={x∈IR /x-1≠0 }=]-∞;1[∪]1;+∞[
(C) est une hyperbole de centre W(1;-2).
f est strictement croissante sur ]1;+∞[
et strictement croissante sur ]-∞;1[.

Les deux droites (D):x=1 et (D'):y=-2 sont les deux asymptotes de (C).

Tableau de variations

x		-∞		1		+∞
f			↗		↗

Notons qu'on peut construire la courbe sans utiliser la propriété. Il suffit de calculer des images de quelques abscisses convenables.