2.2 La fonction f:x→ax²+bx+c

2.2.1 Exemples

Exemple 1
Soit f une fonction définie par f(x)=2x²+1 et (C) sa courbe représentative dans un repère orthonormé (O;i^→;j^→). Construire la courbe (C).

Correction
f est un polynôme donc D=IR=]-∞;+∞[.

On a pour tout (x∈IR): 2x²≥0
ou encore 2x²+1≥1 ou encore f(x)≥1
et donc la courbe (C) est l'ensemble des points dont les ordonnées sont supérieurs ou égales à 1.
La plus petite ordonnée est donc le nombre 1
et cela signifie que le point W(0;1) est en dessous de tous les points de la courbe.

x		-1	-0,5	0	0,5	1
f(x)		3	3/2	1	1,5	3

(a) La courbe (C) est une parabole de sommet I(0;1) et d'axe de symétrie d'équation x=0.
(b) f est strictement décroissante sur IR^- et strictement croissante sur IR⁺.
(c) f(0)=1 est la valeur minimale de f.

(d) Tableau de variations

x		-∞		0		+∞
f			↘	1	↗

Exemple 2
Soit f une fonction définie par
f(x)=-x²+2x et (C) sa courbe représentative dans un repère (O;i^→;j^→). Construire (C).

Correction
f est un polynôme donc D=IR=]-∞;+∞[.
On a f(x)=-x²+4x=-(x²-4x+4)+4
=-(x-2)²+4

Pour tout x∈IR on a -(x-2)²≤0
signifie -(x-2)²+4≤4 signifie f(x)≤4
et donc la courbe (C) est l'ensemble des points dont les ordonnées sont inférieurs ou égales à 4.
La plus grande ordonnée est donc le nombre 4
et cela signifie que le point W(2;4) est en dessus de tous les points de la courbe.

Remarque (C) est une parabole de sommet W(2;4) et d'axe de symétrie la droite d'équation x=2.
f est strictement croissante sur ]-∞;2] et strictement décroissante sur [2;+∞[.
f(2)=4 est la valeur maximale de f.

(c) Tableau de variations

x		-∞		2		+∞
f			↗	4	↘