Exercice 1 tp

Soit f une fonction définie par

f(x) =	-2x-1
	x-1

et (C) sa courbe représentative dans un repère orthonormé (O;i^→;j^→).
1) Déterminer D l'ensemble de définition de f.
2) (q1) Construire la courbe (C).
(q2) Déduire les variations de f et tracer son tableau de variations.

3) Résoudre graphiquement l'inéquation f(x)≥0 et déduire le signe de f sur D.

Correction

1) f est définie si x-1≠0 ou encore x≠1
ainsi D=IR\{1}=]-∞;1[∪]1;+∞[.
2) (q1) Les asymptotes de (C).
f est une fonction homographique donc f est une fonction de référence.

La courbe (C) est donc une hyperbole de centre

W(	-d	;	a	)
	c		c

Donc

W(	-(-1)	;	-2	)
	1		1

ainsi W(1;-2).

(C) admet deux asymptotes (D₁) et (D₂).

(D1): x =	-d		(D2): y =	a
	c			c

ainsi

(D1): x =

1

; (D2): y =

-2

(q2) Graphiquement f strictement croissante
sur ]-∞;1[ et sur ]1;+∞[ (et non sur leur union)
Tableau de variations

x	-∞			1			+∞
f	-2	↗		||		↗	-2

Propriété
Soit f une fonction homographique
et D=IR\{x₀} son domaine de définition
Si ad-bc≥0 alors f est strictement croissante
sur ]-∞;x₀[ et sur ]x₀;+∞[.
Si ad-bc≤0 alors f est strictment décroissante
sur ]-∞;x₀[ et sur ]x₀;+∞[.

3) Résolutions graphiquement, f(x)≥0
c'est déterminer l'ensemble des abscisses des points de la partie de la courbe qui est au-dessus de l'axe des abscisses, donc

S = [	1	; 1[
	2

x	- ∞		1		1		+∞
			2
signe de f(x)		-	0	+	||	-