Exercice 1 tp

Soit f une fonction numérique définie par
f(x)=-x²+4x et (C) sa courbe représentative dans un repère orthonormé (O;i^→;j^→)
1) (a) Montrer que pour tout x∈D
f(x)=-(x-2)²+4.
(b) Déduire que 4 est un extremum de f.
2) Construire la courbe (C).
3) (a) Déduire graphiquement les variations de f.
(b) Dresser le tableau de variations de f.

4) (a) Résoudre graphiquement (E): f(x)=0.
(b) Résoudre graphiquement (I₁: f(x)≤0.
(c) Résoudre graphiquement le système des inéquations
(I₂): 3≤f(x)≤4.

Correction

1) (a) f est un polynôme donc D=IR. Soit x∈IR
f(x)=-x²+4x=-(x²-4x)
=-(x²-2.2x+2²-2²).
=-(x²-2.2x+2²)+2²=-(x-2)²+4
et donc pour tout x∈D on a f(x)=-(x-2)²+4.
(b) Pour tout x∈IR on a f(x)=-(x-2)²+4
donc f(x)-4=-(x-2)²
et puisque -(x-2)²≤0 alors f(x)≤4.
Notons que f(2)=4 et donc 4 est une valeur maximale de f en 2.

2) La courbe (C).
On a f(x)=-(x-2)²+4 et f(x)≤f(2)=4
et donc w(2;4) est le sommet de la parabole (C).
Pour construire (C) il suffit de choisir des abscisses convenables de quelques points de la courbe.

3) (a) Graphiquement f est strictement croissante sur ]-∞;2] et strictement décroissante sur [2;+∞[.
(b) tableau de variations

4) (a) Résolutions de l'équation f(x)=0
ça revient à déterminer le nombres de points de rencontes entre (C) et l'axe des abscisses (Ox).

La courbe (C) coupe (Ox) en deux points donc l'équation f(x)=0 admet deux solutions 0 et 4
ainsi S={0;4}.
(b) Résolutions de l'inéquation f(x)≤0
ça revient à déterminer l'intervalle ou les intervalles dont (C) est au-dessous de l'axe des abscisses (Ox).
Dans les deux intervalles ]-∞;0] et [4;+∞[ la courbe (C) est au-dessous de (Ox)
donc l'ensemble des solutions de f(x)≤0.
S₁=]-∞;0]∪[4;+∞[.

(c) Résolutions du système des inéquations 3≤f(x)≤4 ça revient à déterminer les intervalles ou (C) est entre les deux droites
(D₁): y=3 et (D₂): y=4
Notons que f(1)=3; f(2)=4 et f(3)=3.
Si on projette la petite partie du parabole entre les deux droites (D₁) et (D₂) on obtient un segment représenté par l'intervalle [1;3]
ainsi l'ensemble des solutions S₂=[1;3].