3.2 الدالة التزايدية والدالة التناقصية

3.2.1 الدالة التزايدية

تعاريف
لتكن f دالة عددية لمتغير حقيقي x و I مجالا ضمن D_f.
1) نقول ان f دالة تزايدية على المجال I اذا كان لكل x و y من I حيث x<y فان f(x)≤f(y).
2) نقول ان f دالة تزايدية قطعا على I
اذاكان لكل x و y من I حيث x<y فان f(x)<f(y).

مثال
f دالة عددية معرفة كما يلي f(x)=2x+4. نبين ان f دالة تزايدية قطعا على IR.

ليكن x و y عنصرين من IR
x<y نبين ان f(x)<f(y.
لدينا x<y يعني 2x<2y
يعني 2x+4<2y+4
اذن f(x)<f(y) وبالتالي f دالة تزايدية قطعا على IR.

نلخص نتائج التغيرات في جدول يسمى جدول تغيرات الدالة f.

3.2.2 الدالة التناقصية

تعاريف
لتكن f دالة عددية لمتغير حقيقي x و I مجالا ضمن D_f.
1) نقول ان f دالة تناقصية على المجال I اذا كان لكل x و y من I حيث x<y فان f(x)≥f(y).
2) نقول ان f دالة تناقصية قطعا على I
اذاكان لكل x و y من I حيث x<y فان f(x)>f(y).

مثال
لتكن f دالة عددية معرفة كما يلي f(x)=-3x+1.
بين ان f دالة تناقصية قطعا على IR.

تصحيح
ليكن x و y عنصرين من IR بحيث x<y
نبين ان f(x)>f(y).
x<y يعني -3x>-3y لان ((-3<0 ))
يعني -3x+1>-3y+1
اذن f(x)>f(y) ومنه فان f دالة تناقصية قطعا على IR.

جدول تغيرات الدالة f

3.2.3 الدالة الثابتة

تعريف 1
f تابتة على مجال I اذا كان
لكل x و y من I فان f(x)=f(y).

تعريف 2
f دالة تابتة على مجال I تكتب على الشكل f(x)=k حيث k∈IR و x المتغير الحقيقي في I.

مثال
f دالة عددية لمتغير حقيقي x ومعرفة كما يلي f(x)=7.
f دالة تابتة على IR.

3.2.4 الدالة الرتيبة

تعريف
نقول ان دالة رتيبة على مجال I اذا كانت اما تزايدية على I واما تناقصية على I.

مثال
لتكن f دالة عددية لمتغير x حقيقي بحيث f(x)=x³ ادرس رتابة الدالة f على المجموعة IR.

تصحيح
لكل x∈IR لدينا x³∈IR اذن D=IR.
ليكن x, y∈IR بحيث x<y.

بما ان الاس 3 فردي فان المتفاوتة لا تتغير
اذن x³<y³ اي f(x)<f(y)
ومنه فان f تزايدية قطعا على IR وبالتالي f رتيبة قطعا على IR.