3.2.5 خاصيات

لتكن f دالة عددية مجموعة تعريفها D ممركز عند 0 (D=I∪J).
1) f دالة زوجية: اذا كانت f تناقصية على I فانها تناقصية على J.
اذا كانت f تناقصية على I فانها تزايدية على J.
2) f دالة فردية: اذا كانت f تزايدية على I فانها أيضا تزايدية على J.
اذا كانت f تناقصية على I فانها أيضا تناقصية على J.

تمرين 1 tp

1) اتمم جدول تغيرات الدالة f علما أن f زوجية.

2) نفترض أن f فردية أنشئ جدول تغيرات f على I=[-3;3].

تصحيح

1) (a) f دالة تناقصية قطعا على [1;3] ودالة زوجية اذن f تناقصية قطعا على [-3;-1].

(b) f دالة تناقصية قطعا
على [-1;0] f دالة زوجية اذن f تناقصية قطعا على [0;1].

(c) جدول التغيرات
f دالة زوجية و f(3)=-5اذن f(-3)=f(3)=-5
ولدينا f(1)=4 اذن f(-1)=f(1)=4.

2) نفترض أن f دالة فردية.
(a) f تناقصية قطعا
على [1;3] اذن f تناقصية قطعا كذلك على [-3;-1].
(b) f تناقصية قطعا
على [-1;0] اذن f تناقصية قطعا كذلك على [0;1].

(c) جدول التغيرات
f دالة فردية و f(3)=-5
اذن f(-3)=-f(3)=5.

تمرين 2 tp

لتكن f دالة عددية معرفة بما يلي
f(x)=2x²+1. ادرس رتابة f على IR⁺
ثم على IR^- وانشئ جدول تغيراتها.

تصحيح

f دالة حدودية اذن D=IR.
لكل x∈IR لدينا (-x)∈IR
و f(-x)=2(-x)²+1=2x²+1=f(x)
اذن f دالة زوجية.

يكفي دراسة f على IR⁺.
ليكن x;y∈IR⁺ بحيث x<y
اذن x²<y².
يعني 2x²<2y²
يعني 2x²+1<2y²+1
بعنب f(x)<f(y)
اذن f تزايدية قطعا على IR⁺.

f دالة زوجية وتزايدية قطعا على IR⁺ اذن تناقصية قطعا على IR^-.
جدول التغيرات