عموميات حول الدوال العددية (13)
3.3 معدل تغيرات دالة عددية
3.3.1 تعريف
لتكن f دالة عددية و D مجموعة تعريفها.
نعتبر عنصرين مختلفين x و y من D.
معدل تغير الدالة f بين العددين x و y هو العدد الذي نرمز له ب T(x;y) ومعرف كما يلي
| T(x ; y) = | f(x) - f(y) |
| x - y |
3.3.2 خاصيات
لتكن f دالة عددية معرفة على مجال I.
1) f تزايدية على I اذا كان لكل عنصرين مختلفين x و y من I لدينا
T(x;y)≥0.
2) f تناقصية على I اذا كان لكل عنصرين مختلفين x و y من I لدينا
T(x;y)≤0.
3) f تزايدية قطعا على I اذا كان لكل عنصرين مختلفين x و y من I لدينا
T(x;y)>0.
4) f تناقصية قطعا على I اذا كان لكل عنصرين مختلفين x و y من I لدينا
T(x;y)<0.
تمرين 1 tp
لتكن f دالة عددية معرفة كما يلي
f(x)=x²+4x.
1) ادرس رتابة الدالة f على المجالين
I=]-∞;-2] و J=[-2;+∞[.
2) انشئ جدول تغيرات الدالة f.
تصحيح
لدراسة تغيرات دالة عددية يمكن استعمل معدل تغيراتها
ليكن x و y عنصرين مختلفين من IR
f(x)-f(y)=x²+4x-(y²+4y)
=(x²-y²)+4(x-y)=(x-y)(x+y)+4(x-y)
=(x-y)(x+y+4).
اذن
| T(x ; y) = | f(x) - f(y) | = | (x-y)(x+y+4) |
| x - y | x - y |
بعد الاختزال نحصل على T(x;y)=x+y+4.
1) ليكن x و y∈]-∞;-2] اذن x≤-2 و y≤-2
ومنه فان x+y<-4
(المتفاوتة اصبحت قطعا لان x و y مختلفان لايمكن ان يأخذان نفس القيمة - 2 في نفس الوقت )
اذن x+y+4<0
ومنه فان T(x;y)<0 وهذا يعني أن الدالة f تناقفصية قطعا على المجال I.
ليكن x و y∈[-2;+∞[ حيث x≠y
اذن x≥-2 و y≥-2
ومنه فان x+y>-4.
(المتفاوتة اصبحت قطعا لان x و y مختلفان لايمكن ان يأخذان نفس القيمة - 2 في نفس الوقت
).
اذن x+y+4>0
ومنه فان T(x;y)>0 وهذا يعني أن الدالة f تزايدية قطعا على المجال J.
2) جدول التغيرات
| x | -∞ | -2 | +∞ | |||
| f | ↗ |
-4 | ↘ |
تمرين 1 tp
لتكن f دالة عددية معرفة كما يلي
f(x)=2x²+1.
1) ادرس رتابة الدالة f على المجالين
I=IR+ و J=IR-.
2) انشئ جدول تغيرات الدالة f.
تصحيح
نحسب معدل تغير الدالة f بين عددين.
ليكن x و y من IR بحيث x≠y.
f(x)-f(y)=2x²+1-(2y²+1)
=2x²-y²=2(x²-y²).
f(x)-f(y)=2(x-y)(x+y) اذن
| T(x ; y) = | f(x) - f(y) | = | -(x-y)(x+y) |
| x - y | x - y |
بعد الاختزال نحصل على T(x;y)=2(x+y).
1) ليكن x و y من I=]-∞;0] اذن x≤0 و y≤0
ومنه فان x+y<0.
(المتفاوتة اصبحت قطعا لان x و y مختلفان لايمكن ان يأخذان نفس القيمة 0 في نفس الوقت ).
x+y<0 ⇔ 2(x+y)<0
ومنه فان T(x;y)>0 وهذا يعني أن الدالة f تناقصية قطعا على المجال I.
ليكن x و y من J=[0;+∞[ حيث x≠y
اذن x≥0 و y≥0
ومنه فان x+y>0.
x+y>0 ⇔ 2(x+y)>0
ومنه فان T(x;y)>0 وهذا يعني أن الدالة f تزايدية قطعا على المجال J.
جدول تغيرات الدالة f.
| x | -∞ | 0 | +∞ | |||
| f | ↗ |
1 | ↘ |
|||