تمرين 1 tp

لتكن f دالة عددية بحيث

f(x) =	x+2
	x-1

أدرس رتابة f على D وانشئ جدول تغيراتها.

تصحيح

D={x∈IR / x-1≠0}=IR \{1}
=]-∞;1[∪]1;+∞[.

ليكن x∈D و y∈D بحيث x≠y

f(x) - f(y) =	x+2	-	y+2
	x-1		y-1

=	(x+2)(y-1)-(x-1)(y+2)
	(x-1)(y-1)
=	- 3(x-y)
	(x-1)(y-1)

معدل تغير f بين x و y كالتالي

T(x ; y) =	f(x)- f(y)	=	- 3
	x-y		(x-1)(y-1)

اشارة T(x;y).
(a) اذا كان x∈]-∞;1[ و y∈]-∞;1[ فان x<1 و y<1
أي (x-1)<0 و (y-1)<0
اذن (x-1)(y-1)>0
ومنه فان T(x;y)<0 لأن -3<0
وبالتالي f تناقصية قطعا على ]-∞;1[ .

(b) اذا كان x∈]1;+∞[ و y∈]1;+∞[ فان x>1 و y>1
أي (x-1)>0 و (y-1)>0
اذن (x-1)(y-1)>0
ومنه فان T(x;y)<0 لأن -3<0
وبالتالي f تناقصية قطعا على ]1;+∞[.

جدول التغيرات

x		-∞		1		+∞
f			↘		↘

تمرين 2 tp

لتكن f دالة عددية معرفة كما يلي
f(x)=-x²+4x+1.
أدرس رتابة الدالة f
على I]-∞;2] ثم على [2;+∞[
وانشئ جدول تغيراتها.

تصحيح

f دالة حدودية اذن D=IR.
ليكن x∈IR و y∈IR بحيث x≠y.
f(x)-f(y)=-x²+4x+1-(-y²+4y+1).

=-x²+y²+4x-4y+1-1.
=-(x²-y²)+4(x-y)
=-(x-y)(x+y)+4(x-y)=(x-y)(-x-y+4).
اذن f(x)-f(y)=(x-y)[-(x+y)+4]
ومنه فان

T(x ; y) =	f(x) - f(y)
	x-y

أي T(x;y)=-(x+y)+4.

1) رتابة f على I=]-∞;2].
x∈I و y∈I يعني x≤2 و y≤2
اذن x+y<4 .
يعني -(x+y)>-4
يعني -(x+y)+4>0
اذن T(x;y)>0 وهذا يعني أن f تزايدية قطعا
على I=]-∞;2].

2) رتابة f على J=[2;+∞[.
x∈I و y∈I يعني x≥2 و y≥2
اذن x+y>4. يعني -(x+y)<-4
يعني -(x+y)+4<0
اذن T(x;y)<0 وهذا يعني أن f تناقصية قطعا
على J=[2;+∞[.

جدول التغيرات

x		-∞		2		+∞
f			↗	5	↘