4- القيمة القصوى والقيمة الدنيا دالة عددية

4.1 القيمة الدنيا لدالة عددية

4.1.1 تعريف

f دالة عددية معرفة على مجال I (I⊂D)
أصغر قيمة لصور عناصر المجال I بواسطة الدالة f تسمى القيمة الدنيا ل f على المجال I.

وبتعبير آخر
m قيمة دنيا ل f على I اذا وجد عدد حقيقي a في المجال I بحيث لكل x∈I لدينا f(x)≥m=f(a).

f(x₀) قيمة دنيا للدالة f عند x₀ و f(x₁) قيمة قصوى للدالة f عند x₁.

4.1.2 مثال

لتكن f دالة عددية لمتغير حقيقي x بحيث
f(x)=x²+1.
بين ان 1 قيمة دنيا للدالة f.

تصحيح
لكل x∈IR لدينا x²≥0 اذن x²+1 ≥ 1
ومنه فان لكل x∈IR لدينا f(x)≥1.

هل يوجد عنصر a من I=IR بحيث f(a)=1 ?
لذلك يكفي حل المعادلة f(x)=1 في المجال I.
f(x)=1 يعني x²+1=1 يعني x²=0 يعني x=0
اذن 1=f(0) وبالتالي 1 قيمة دنيا ل f عند 0.

4.2 القيمة القصوى لدالة عددية

4.2.1 تعريف

لتكن f دالة عددية معرفة على مجال I حيث (I⊂D).
أكبر قيمة لصور عناصر المجال I بواسطة الدالة f تسمى القيمة القصوى ل f على المجال I.

وبتعبير آخر
M قيمة قصوى ل f على I اذا وجد عدد حقيقي a في المجال I
بحيث لكل x∈I لدينا f(x)≤M=f(a).

4.2.2 مثال

لتكن f دالة عددية معرفة كما يلي
f(x)=-x²+3.
بين ان 3 قيمة قصوى للدالة f.

تصحيح
لكل x∈IR لدينا -x²≤0 اذن -x²+1≤3
ومنه فان لكل x∈IR لدينا f(x)≤3.

هل يوجد عنصر a من I=IR
بحيث f(a)=3 ?
يكفي حل المعادلة f(x)=3 في المجال I.
f(x)=3 يعني -x²+3=3
يعني x²=0 يعني x=0
اذن 3=f(0) وبالتالي 3 قيمة قصوى ل f عند 0.