2.3 الدالة الفردية

2.3.1 انشطة

لتكن f دالة عددية لمتغير حقيقي x بحيث f(x)=x³.
1) تحقق أن مجموعة التعريف D_f ممركزة.
2) قارن f(x) و f(-x) حيث x∈D_f.

تصحيح
1) دالة حدوددية اذن D_f=IR.
بما ان D_f=IR و IR مجموعة مماثلة بالنسبة للصفر اذن لكل x∈D_f فان -x ∈D_f.

2) نقارن f(x) و f(-x)
ليكن x∈IR لدينا f(-x)=(-x)³=-x³
اذن f(-x)=-f(x)
نقول اذن ان f دالة فردية.

2.3.2 تعريف

لتكن f دالة عددية لمتغير حقيقي x و D مجموعة تعريفها.
نقول ان f دالة فردية اذا تحقق ما يلي
1) لكل x∈D فان -x∈D.
2) لكل x∈D فان f(-x)=-f(x).

2.3.3 التأويل الهندسي

لتكن f دالة فردية و C_f منحناها الممثل في معلم (O;i^→;j^→).
بما ان لكل x∈IR لدينا f(-x)=-f(x)
فان النقطتين M(x;f(x)) و M'(-x;-f(x)) متماثلتان بالنسبة لاصل المعلم.

2.3.4 خاصية

منحنى دالة فردية مماثل بالنسبة لأصل المعلم.

تمرين 1 tp

لتكن f دالة عددية لمتغير حقيقي x ومعرفة كما يلي
f(x)=x³-3x.
بين ان f دالة فردية.

تصحيح

f دالة حدودية اذن D_f=IR
ومنه فان لكل x∈IR لدينا (-x)∈IR.
ليكن x∈IR
f(-x)=(-x)³-3(-x)=-x³.

لدينا f(-x)=-x³+3x
نعمل اذن ب -1
اذن f(-x)=-(x³- 3x)=-f(x)
وهذا يعني ان الدالة f فردية.

تمرين 2 tp

لتكن h دالة عددية لمتغير حقيقي x ومعرفة كما يلي
h(x)=x²+x+3.
ادرس زوجية الدالة h.

تصحيح

1) h دالة حدودية اذن D_h=IR.
2) المجموعة IR ممركزة اذن لكل x ∈IR فان -x∈IR.

3) نقارن h(x) و h(-x)
لدينا h(-x)=-x + 3 ≠ h(x) و h(-x)≠-h(x)
وبالتالي h ليست زوجية وليست فردية
(مثال مضاد لدينا h(1)=5 و h(-1)=3 والعددان 3 و 5 غير متساويين وغير متقابلين اذن h ليست فردية وليست زوجية).

تمرين 3 tp

لتكن f دالة عددية لمتغير حقيقي x ومعرفة كما يلي

f(x) =	2x
	x²-2

1) حدد مجموعة تعريف الدالة f.
2) بين ان الدالة f فردية.