تمرين 1 tp

لتكن f دالة عددية معرفة كما يلي

f(x) =	x
	x+2

1) حدد مجموعة تعريف الدالة f.
2) بين أن f تزايدية قطعا على ]-∞;-2[
وعلى ]-2;+∞[ وانشئ جدول تغيراتها.

تمرين 2 tp

لتكن f دالة عددية معرفة كما يلي

f(x) =	3x
	x+1

1) حدد D_f.
2) ادرس تغيرات f على ]-∞;-1[
ثم على ]-1;+∞[.
3) انشئ جدول تغيرات f.
4) حل في IR المعادلة f(x)=x²-x.

تصحيح

1) f معرفة يعني x+1≠0.

x+1=0 يعني x=-1
اذن D=IR\{-1}=]-∞-1[∪]-1;+∞[.
2) لتكن x و y من D بحيث x<y.
اشارة f(x)-f(y).

f(x)-f(y) =	3x	-	3y
	x+1		y+1

=	3x(y+1) - 3y(x+1)	=	3(x-y)
	(x+1)(y+1)		(x+1)(y+1)

بما أن x<y فان x-y<0
اذن f(x)-f(y) لها اشارة متقابلة مع
(x+1)(y+1).

لتكن x و y من ]-∞;-1[
اذن x<-1 يعني x+1<0
y<-1 يعني y+1<0
اذن (x+1)(y+1)>0
وبما أن x-y<0 فان f(x)-f(y)<0
أي f(x)<f(y)
اذن f تزايدية قطعا على ]-∞;-1[.

لتكن x و y من ]-1;+∞[
x>-1 يعني x+1>0.
و y>-1 يعني y+1>0.
اذن (x+1)(y+1)>0
وبما أن x-y<0 فان f(x)-f(y)<0
أي f(x)<f(y).
f اذن تزايدية قطعا على ]-1;+∞[.

3) جدول تغيرات f

x		-∞		-1			+∞
f			↗			↗

4) نحل في D المعادلة f(x)=x²-x.
f(x)=x²-x يعني 3x=(x+1)(x²-x)
يعني x³-x²+x²-x-3x=0
x³-4x=0 يعني x(x²-4)=0
يعني (x=0 أو x²=4)
يعني (x=0 أو x=-2 أو x=2)
-2 و و 0 و 2 تنتمي الى D اذن S={-2;0;2}.