تمرين 1 tp

لتكن f دالة عددية معرفة كما يلي

f(x) =	x+1
	x-3

1) حدد مجموعة تعريف الدالة f.
2) بين أن f تناقصية قطعا على ]-∞;3[ وعلى ]3;+∞[ وانشئ جدول تغيراتها.

تمرين 2 tp

لتكن f دالة عددية معرفة كما يلي

f(x) =	x-1
	x-2

1) حدد D_f.
2) ادرس تغيرات f على ]-∞;2[ ثم على ]2;+∞[.
3) انشئ جدول تغيرات f.
4) حل في المجال I=]2;+∞[ المعادلة f(x)=4x-10.

تصحيح

1) f معرفة يعني x-2≠0.
x-2=0 يعني x=2
اذن D=IR\{2}=]-∞2[∪]2;+∞[.
2) لتكن x و y من D بحيث x<y.
ندرس اشارة f(x)-f(y).

f(x)-f(y) =	x-1	-	y-1
	x-2		y-2

=	(x-1)(y-2) - (x-2)(y-1)
	(x-2)(y-2)

=	-(x-y)
	(x-2)(y-2)

بما أن x<y فان x-y<0
أي -(x-y)>0
اذن f(x)-f(y) لها نفس اشارة (x-2)(y-2).
لتكن x و y من ]-∞;2[
x<2 يعني x-2<0
و y<2 يعني y-2<0
اذن (x-2)(y-2)>0

بما أن -(x-y)>0 فان f(x)-f(y)>0
أي f(x)>f(y).
وبالتالي f تناقصية قطعا على ]-∞;2[.
لتكن x و y من ]2;+∞[
اذن x>2 يعني x-2>0
و y>2 يعني y-2>0
ومنه فان (x-2)(y-2)>0
وبما أن -(x-y)>0 فان f(x)-f(y)>0
أي f(x)>f(y) وهذا يعني أن f تناقصية قطعا
على ]2;+∞[.

3) جدول تغيرات f

x		-∞		2			+∞
f			↘			↘

4) نحل المعادلة f(x)=4x-10
f(x)=4x-10 يعني x-1=(x-2)(4x-10)
يعني 4x²-10x-8x+20-x+1=0
يعني 4x²-19x+21=0.

نحل في I المعادلة
4x²-19x+21=0
Δ=b²-4ac
=(-19)²-4.4.21=25
اذن المعادلة تقبل حلين.

{	x1 =	-b-√(Δ)
		2a
	x2 =	-b+√(Δ)
		2a

{	x1 =	19-5	=	14
		2.4		8
	x2 =	19+5	=	24
		2.4		8

يعني (x=1,75 أو x=3).
بما أن 1,75∉I
فان S={3}.