Exercice 1 tp

Soit f une fonction numérique définie par

f(x) =	x
	x+2

1) Déterminer le domaine de définition de f.
2) Montrer que f est strictement croissante sur ]-∞;-2[
et sur ]-2;+∞[ et tracer son tableau de variations.

Exercice 2 tp

Soit f une fonction numérique définie par

f(x) =	3x
	x+1

1) Déterminer D_f.
2) Etudier les variations de f sur ]-∞;-1[ puis sur ]-1;+∞[.
3) Tracer le tableau de variations de f.
4) Résoudre dans IR l'équation f(x)=x²-x.

Correction

1) f est définie signifie x+1≠0.

x+1=0 signifie x=-1
donc D=IR\{-1}=]-∞-1[∪]-1;+∞[.
2) Soient x;y∈D tel que x<y.
Signe de f(x)-f(y).

f(x)-f(y) =	3x	-	3y
	x+1		y+1

=	3x(y+1) - 3y(x+1)	=	3(x-y)
	(x+1)(y+1)		(x+1)(y+1)

puisque x<y alors x-y<0
et donc f(x)-f(y) est de signe contraire
de (x+1)(y+1).

Soient x;y∈]-∞;-1[
donc x<-1 signifie x+1<0
y<-1 signifie y+1<0
ainsi (x+1)(y+1)>0 et puisque x-y<0 alors f(x)-f(y)<0 ou encore f(x)<f(y)
alors f est strictement croissante sur ]-∞;-1[.

Soient x;y∈]-1;+∞[
x>-1 signifie x+1>0.
et y>-1 signifie y+1>0.
ainsi (x+1)(y+1)>0 et puisque x-y<0
alors f(x)-f(y)<0 ou encore f(x)<f(y).
f est donc strictement croissante sur ]-1;+∞[.

3) Tableau de variations de f

x		-∞		-1			+∞
f			↗			↗

4) On résout dans D l'équation f(x)=x²-x.
f(x)=x²-x signifie 3x=(x+1)(x²-x)
signifie x³-x²+x²-x-3x=0
x³-4x=0 signifie x(x²-4)=0
signifie (x=0 ou x²=4)
signifie( x=0 ou x=-2 ou x=2)
-2; 0 et 2∈D donc S={-2;0;2}.