Exercice 1 tp

Soit f une fonction numérique définie par

f(x) =	x+1
	x-3

1) Déterminer le domaine de définition de f.
2) Montrer que f est strictement décroissante sur ]-∞;3[
et sur ]3;+∞[ et tracer son tableau de variations.

Exercice 2 tp

Soit f une fonction numérique définie par

f(x) =	x-1
	x-2

1) Déterminer D_f.
2) Etudier les variations de f sur ]-∞;2[ puis sur ]2;+∞[.
3) Tracer le tableau de variations de f.
4) Résoudre dans I=]2;+∞[ l'équation f(x)=4x-10.

Correction

1) f est définie signifie x-2≠0.
x-2=0 signifie que x=2
donc D=IR\{2}=]-∞2[∪]2;+∞[.
2) Soient x et y∈D tel que x<y.
On étudie le signe de f(x)-f(y).

f(x)-f(y) =	x-1	-	y-1
	x-2		y-2

=	(x-1)(y-2) - (x-2)(y-1)
	(x-2)(y-2)

=	-(x-y)
	(x-2)(y-2)

puisque x<y alors x-y<0
ou encore -(x-y)>0
ainsi f(x)-f(y) est de signe de (x-2)(y-2).
Soient x;y∈]-∞;2[
x<2 signifie x-2<0
et y<2 signifie y-2<0
ainsi (x-2)(y-2)>0

Puisque -(x-y)>0 alors f(x)-f(y)>0
ou encore f(x)>f(y). ainsi f est strictement
décroissante sur ]-∞;2[.
Soient x;y∈]2;+∞[
donc x>2 signifie x-2>0
et y>2 signifie y-2>0
ainsi (x-2)(y-2)>0
puisque -(x-y)>0 alors f(x)-f(y)>0
ou encore f(x)>f(y) et cela signifie que f est strictement
décroissante sur ]2;+∞[.

3) Tableau de variations de f

x		-∞		2			+∞
f			↘			↘

4) On résout dans I l'équation f(x)=4x-10
f(x)=4x-10 signifie que x-1=(x-2)(4x-10)
signifie 4x²-10x-8x+20-x+1=0
signifie 4x²-19x+21=0.

On résout dans I l'équation
4x²-19x+21=0
Δ=b²-4ac
=(-19)²-4.4.21=25
donc l'équation admet deux solutions.

{	x1 =	-b-√(Δ)
		2a
	x2 =	-b+√(Δ)
		2a

{	x1 =	19-5	=	14
		2.4		8
	x2 =	19+5	=	24
		2.4		8

ou encore x=1,75 ou x=3.
Puisque 1,75∉I
alors S={3}.