Exercice 1 tp

Soit f est une fonction numérique définie par
f(x)=-2x²+3.
1) Etudier la parité de f.
2) Etudier les variations de f sur IR+ puis sur IR^-.
3) Tracer le tableau de variation de f.
4) Déduire un extremum de f.

Correction

1) f est un polynôme donc D=IR
ainsi pour tout x∈IR on a (-x)∈IR.

Soit x∈IR.
f(-x)=-2(-x)²+3=-2x²+3=f(x)
alors f est une fonction paire.
2) Soient x;y ∈IR tel que x≠y.
f(x)-f(y)=-2x²+3-(-2y²+3)
=-2x²+2y²=-2(x²-y²)
= -2(x-y)(x+y).

Donc le taux d'accroissement T(x;y)=-2(x+y).
(a) On suppose que x et y∈IR⁺
ou encore (x≥0 et y≥0)
Donc x+y>0 (l'inégalité est stricte car x≠y ne peuvent pas prendre la même valeur en même temps).
2(x+y)>0 signifie -2(x+y)<0
alors f est strictement décroissante sur IR⁺.
(b) Puisque f est une fonction paire alors f est strictement croissante sur IR^-.

3) Tableau de variations de f.

4) f est strictement croissante sur ]-∞;0] et strictement décroissante sur [0;+∞[
donc f(0)=3 est une valeur maximale de f sur IR ainsi 3 est un extremum de f en 0.