عموميات حول الدوال (12)
تمرين 1 tp
لتكن f دالة عددية معرفة كما يلي
| f(x) = | 4x |
| x²+1 |
1) حدد Df
2) بين أن f دالة فردية
3) هل -2 و 2 مطرافان للدالة f ?
4) ادرس رتابة الدالة f على [0;1] و [1;+∞[ واستنتج تغيراتها على ]-∞;-1] و [-1;0]
5) انشئ جدول تغيرات f.
تصحيح
1) f معرفة يعني x²+1≠0.
x²+1=0 يعني x²=-1 وهذا غير ممكن
اذن لكل x∈IR لدينا x²+1≠0
وبالتالي D=IR.
2) D=IR اذن لكل x∈IR لدينا (-x)∈IR.
ليكن x∈IR.
| f(- x) = | 4(-x) | = | - 4x | = - f(x) |
| (-x)²+1 | x²+1 |
اذن f(-x)=-f(x) وبالتالي f دالة فردية.
2) ليكن x و y من IR بحيث x<y.
ندرس اشارة f(x)-f(y).
| f(x)-f(y) = | 4x | - | 4y |
| x²+1 | y²+1 |
| = | 4x(y²+1) - 4y(x²+1) |
| (x²+1)(y²+1) | |
| = | 4xy(y-x)+4(x-y) |
| (x²+1)(y²+1) | |
| = | (y-x)(4xy-4) |
| (x²+1)(y²+1) |
بما أن x<y فان y-x>0
ولدينا (x²+1)(y²+1)>0
اذن f(x)-f(y) لها نفس اشارة
4xy-4.
لتكن x و y من ]0;1[.
0<x<1 و
0<y<1
اذن
0<xy<1
0<xy<1 يعني
0<4xy<4
يعني
-4<4xy-4<0
اذن f(x)-f(y)<0 أي f(x)<f(y) وهذا يعني
أن f تزايدية قطعا على [0;1].
بما أن f دالة فردية فانها كذلك تزايدية قطعا على [-1;0].
ليكن x و y من ]1;+∞[ أي x>1 و y>1.
اذن xy>1 يعني
4xy>4
يعني
4xy-4>0
اذن f(x)-f(y)>0
أي f(x)>f(y).
وهذا يعني أن f تناقصية قطعا على
[1;+∞[
وبما أن f دالة فردية فانها كذلك تناقصية قطعا على ]-∞;-1].
3) جدول تغيرات f
| x | -∞ | -1 | 0 | 1 | +∞ | ||
| f | ↘ | -2 |
↗ |
2 | ↘ |
3) هل -2 و 2 مطرافان للدالة f ?
(a) نحدد a (ان وجد) بحيث f(a)=-2.
| 4x | = -2 | يعني | f(x) = -2 |
| x²+1 |
يعني
4x=-2(x²+1) يعني
2(x²+2x+1)=0
يعني
2(x+1)²=0 يعني
x+1=0
اذن x=-1 ومنه فان f(-1)=-2.
ندرس اشارة f(x)-f(-1).
| f(x) + 2 = | 4x | + 2 = | 4x+2(x²+1) | |
| x²+1 | x²+1 |
| = | 2(x²+2x+1) | = | 2(x+1)² | ≥ 0 |
| x²+1 | x²+1 |
لكل x∈IR لدينا f(x)≥f(-1)=-2 وهذا يعني أن
-2 قيمة دنيا للدالة f.
(a) نقوم بنفس الشيء للقيمة 2.
نجدد a (ان وجد) بحيث f(a)=2.
| f(x) = 2 | يعني | 4x | = 2 |
| x²+1 |
يعني
4x = 2(x²+1)
يعني
2(x²-2x+1)=0.
يعني 2(x-1)²=0 يعني x-1=0 يعني x=1 اذن f(1)=2.
اشارة f(x)-f(1).
| f(x) - 2 = | 4x | - 2 = | 4x-2(x²+1) | |
| x²+1 | x²+1 | |||
| = | -2(x²-2x+1) | = | -2(x-1)² | ≤ 0 |
| x²+1 | x²+1 |
لكل x∈IR لدينا f(x)≤f(1)=2 وهذا يعني 2 قيمة قصوى للدالة f عند 1.