Généralités sur les fonctions (12)
Exercice 1 tp
Soit f une fonction numérique définie par
| f(x) = | 4x |
| x²+1 |
1) Déterminer Df
2) Montrer que f est impaire
3) Est ce que -2 et 2 sont des extremums de f ?
4) Etudier les variations de f sur [0;1] et [1;+∞[ et Déduire ses variations sur ]-∞;-1] et [-1;0]
5) Tracer le tableau de variations de f
Correction
1) f est définie signifie x²+1≠0.
x²+1=0 signifie que x²=-1 et ce n'est pas possible
donc pour tout x∈IR on a x²+1≠0
ainsi D=IR
2) D=IR donc pour tout x∈IR on a (-x)∈IR.
Soit x∈IR.
| f(- x) = | 4(-x) | = | - 4x |
| (-x)²+1 | x²+1 |
donc f(-x)=-f(x) ainsi f est une fonction impaire.
2) Soient x et y∈IR tel que x<y.
On étudie le signe de f(x)-f(y).
| f(x)-f(y) = | 4x | - | 4y |
| x²+1 | y²+1 |
| = | 4x(y²+1) - 4y(x²+1) |
| (x²+1)(y²+1) | |
| = | 4xy(y-x)+4(x-y) |
| (x²+1)(y²+1) | |
| = | (y-x)(4xy-4) |
| (x²+1)(y²+1) |
Puisque x<y alors y-x>0
et on a (x²+1)(y²+1)>0
donc f(x)-f(y) est de signe de 4xy-4.
Soient x;y∈]0;1[.
0<x<1 et 0<y<1
donc 0<xy<1
0<xy<1 signifie 0<4xy<4
signifie -4<4xy-4<0
ainsi f(x)-f(y)<0 ou encore f(x)<f(y) et cela signifie que f est strictement croissante sur [0;1].
Puisque f est impaire alors f est aussi strictement croissante sur [-1;0].
Soient x;y∈]1;+∞[ ou encore x>1 et y>1.
donc xy>1 signifie 4xy>4
signifie 4xy-4>0
ainsi f(x)-f(y)>0
ou encore f(x)>f(y).
f est donc strictement
décroissante sur [1;+∞[
et puisque f est impaire alors f est aussi strictement décroissante sur ]-∞;-1].
3) Tableau de variations de f
| x | -∞ | -1 | 0 | 1 | +∞ | ||
| f | ↘ | -2 |
↗ |
2 | ↘ |
3) -2 et 2 sont ils des extremums de f ?
(q1) On détermine un réel a (s'il existe) tel que f(a)=-2.
| f(x) = -2 signifie | 4x | = -2 |
| x²+1 |
signifie 4x=-2(x²+1) signifie 2(x²+2x+1)=0
signifie 2(x+1)²=0 signifie x+1=0
donc x=-1 ainsi f(-1)=-2.
On étudie le signe de f(x)-f(-1).
| f(x) + 2 = | 4x | + 2 = | 4x+2(x²+1) | |
| x²+1 | x²+1 |
| = | 2(x²+2x+1) | = | 2(x+1)² | ≥ 0 |
| x²+1 | x²+1 |
Pour tout x∈IR on a f(x)≥f(-1)=-2 et cela signifie que -2 est une valeur minimale de f.
(q2) On fait la même chose pour le nombre 2.
On détermine a (s'il existe) tel que f(a)=2.
| f(x) = 2 signifie | 4x | = 2 |
| x²+1 |
signifie 4x = 2(x²+1)
signifie 2(x²-2x+1)=0.
Signifie 2(x-1)²=0 signifie x-1=0
donc x=1 ainsi f(1)=2.
Signe de f(x)-f(1).
| f(x) - 2 = | 4x | - 2 = | 4x-2(x²+1) | |
| x²+1 | x²+1 | |||
| = | -2(x²-2x+1) | = | -2(x-1)² | ≤ 0 |
| x²+1 | x²+1 |
pour tout x∈IR on a f(x)≤f(1)=2 et cela signifie que 2 est une valeur maximale de f en 1.